Appunti completi (con esercizi) di Meccanica razionale

MECCANICA RAZIONALE (TEORIA)

AUTOVALORI E AUTOVETTORI

Definizione:

Consideriamo una trasformazione lineare (o endomorfismo) A: V → V

Considero davi un vettore non nullo V ≠ 0 e dirò che:

V è un autovettore di A con autovalore λ se:

Av = λv

oppure, in termini matriciali:

| λ1 |_v1 | | λ2 |_v2 | | ...| | λn |_vn |

E quindi, se λ è un autovalore di A, allora A lascia fissa una direzione, IV, quanto gli autovettori nella nuova base variano soltanto il modulo può variare: modulo e verso ma non la direzione.

Più in generale, se considero k autovettori lineari, indipendenti V1, V2, ..., Vk e per ipotesi associano a tutti l'autovalore λ (vucule linearie)

Otterrò dunque:

λ (∂1V1 + ... + ∂kVk) = ∂1λV1 + ... + ∂kλVk = λ (∂1V1 + ... + ∂kVk)

E quindi avrò in ogni caso che lascia variato il sottospazio generale dalle direzioni dei vettoriali V1, ..., Vk (sopa l'autospazio di λ).

Gli auto valori di una matriche associata ad A si trovano risolvendo l'equazione:

det(λA - A) = 0

(le soluzioni sono gli autovalori) (solo se soluzioni reali)

Teorema Spettrale

Se A: V → V una trasform linear (endomorfismo) e se A è la matrice associata su di una base ortonormale {e1, ..., em}: A è simmetrica (ossia A = AT inserita A una enorme su une base ortonormale {e1, ..., em} dello spazia vettrale V formato di autroiettori:

Aim = λiVi con i = 1, 2, ..., m

Teorema Spetrale: vengono matriciale saresse ):

Un nuovo base ortonormale {u1, ..., um} e le sue componenti sianno:

D = λ1y1y1^T + λ2y2y2^T + ... λsysys^T dove dis_⊗0 per i≠j

D = ( λ 0 0 ) ( 0 λ 0 ) ( 0 0 λ )

E quindi, se chiamiamo B la matrice del cambio di base da {e1, ..., em} a {u1, ..., um} si avrà:

D = B · A · B^T

In conclusione:

Il teorema spettrale (Arnold) si puó enunciare anche con:

• data una matrice A simmetrica, esiste una matrice B ortogonale che la diagonalizza ottenendo D (matrice diagonale). (con gli autovalori lungo la diagonale)

• A = matrice simmetrica associata alla trasformaz. lineare A (iniziale)
• B = matrice del cambio di base da (e₁,..., e_m) a (u₁,..., u_m)
• D = matrice diagonale associata alla trasformaz. lineare A nella base (u₁,..., u_m)

Cinematica del corpo rigido

Definizione: corpo rigido

un insieme di punti di un sistema rigido le cui posizioni non mutano tra di loro.

Vcs (P) ≡ V_s (P ∈ corpo)

• τ vel relativa → 0

• ω
• x
• y
• z

• ω
• e₁
• e₂

sdr solid.

A · tutti · P → eff → mtd → c.r.

Velocità e accelerazione (la velocità relativa è 0)

v(P) = V(O) + ω ∧ (P-O)

(formula fondamentale del corpo rigido)

Accellerazione:

a_r(P)=0 V_r(P)

a(T) = Q(T) [@T]

α(P) = a_T(P) = Q(t) + ω ̂ ̇ ∧ (P-O) + ω ∧ (ψ ∧ (P-O))

Disco che Rotola (Rot. Puro)

Disco di raggio R che rotola senza strisciare su una guida rettilinea (moto al piano).

Rot. puro (senza strisciare) ∴ Ossa il punto di contatto ha velocità nulla.

• L'asse passa per C sempre e ovvale C è il centro istantaneo del moto. (Inter. tra piano rapp. e AR)
• C si muove sulla guida, quindi:
  • Per Σ : L'equazione è H₀=0 ∴ la base è la guida stessa
  • Per S : L'equazione è │C -α│= R ∴ la rulletta è il contorno del disco stesso.

V(C) = 0

Equilibri di un sistema dinamico

Considero un sistema dinamico autonomo. Un punto di equilibrio è l'argano ^E a tra la dove il campo vettoriale è annullato, altro _i se f(^E) = 0 (ovvero le sue componenti sono nulle).

f(^E) = { f₁(x^E) = 0, … , f_m(^E) = 0 }

Il punto di equilibrio deve avere la forma ^E = (x^E, …) = (x^E, ⁰) ossia deve trovarsi in una punto in cui vengono e devono avere velocità nulle. La soluzione del sistema è orovrare costante (soluzione di equilibrio) U ⁰(^E)_<=VEER

Condizione di equilibrio: f₁(x^E,0) = f₂(x^E,0) = f₃(x^E,0) = 0 V₁ + V₂ = V₃ = 0 e

V (pesca):

x' = kx - pxy - ex = (k-e)x + pxy y' = -my + exy = (m+e)x + exy

x/p

APPLICARE IL CRITERIO DI STABILITA’ LINEARIZZATA

J(x,y):= (_∂f₁/_∂x _∂f₁/_∂y _∂f₂/_∂x _∂f₂/_∂y) = (k-py -px ey -m+ex)

J(0,0):= ( k 0 0 -m)

1 2 autovalori sono k e -m; dato che uno e' negativo l’equilibrio e’ instabile.

J(^m/_e; ^k/_p) = (0 -^pm/_e ^ek/_p 0)

1 2 autovalori sono complessi e sono ± i√(km); il parte reale e' nullo dunque non permane ore mentre con osema comportamento (nel linara non l'utente). (negli approssimale di grado 2 di Taylor ci pottrebbe esire clenari (nd e telraic e men osecisunta)). La stabilita' la puo di metare atravea il yauov. si amiva a dipontare chez l'apecochimag' lineare di queato nelinal a comporta che un oscellante mamuco (la pecolatuo esiciia interno a _P2).

Criterio di Lyapunov

∃ _c > 0, ∃ Ω∈ℝ ⁿ

∇L(y)f(y) ≤ 0 ∀ y ∈ U;">

ammette

una funzione L su U, definita positiva

con un minimo isolato in y_e:

• ∇L(y)f(y) ≤ 0 ∀ y ∈ U

ovvero

• L'(y) ≤ 0 ∀ y ∈ U

→ (la funzione L non cresce lungo

• una generica traiettoria L(t)) o

a decrescere o a convergere!

allora y_e è stabile (se esiste tale funzione).

DIMOSTRAZIONE: sia y_e un punto di equilibrio.

f(y_e) = 0 ⇔ deve ammettere che c è un

ω intorno interno di y_e (B' interno di y_e)

u(t) ∈ ω ⇔ (la traiettoria in ogni istante successivo

(Ahimè in US.))

fisso B intorno di y_e ⇒ UΩU_e es' anche un

intorno y_e ≡ B &, B sfera piena con centro a y_e.

e B⊂ω.

• sia H = min_u L(u)
• L(u)≤H ∀u∈ ∂B

(il bordo di B)

b (non un punto

foto su un'altra non fenom...)

sa H = max_ω∈B |∇L|

a un B' = {u : u−y_e ≤

H^μ_m}

ammette:

u_c∈B’ ⇒ L(u_c ) = L(μ₁) =

1/L(y_ui-1 ) ≤

L(y_μ)

[¹/_m ≤

L^m

alg. ¹]

(rischio di r. voluto

AA.

(m tc. B'⊂B)

ammette

ancora:

AA μ ≤ μ^c-at per ogni iterazione ouppure

• nui + ν^t → L(y) ≤
• H/m

dove

L'(u^cl) < M^ν

• L(u(y)) < L(μ_cl N

assumi: Γ(u,t) ∈ B ∀t

B

ADOPERA GIUSTAMENTE che la

u(t) ∈ B_f ∀t

(verifica W∈W)

fattezze

di W.

sopra un altro dinamico:

1. ẋ = γ

con equilibrio (x_e, 0) dove

1. y = f(x,ν)

(f(x_e,σ) =0)

spin_md_nemico

sciavino: a

∂_yf ∂_ys + ∂_{δr …}

- ⌈ 0 I |

1/m 0 fur vio

matrice sacchini:

00... 00...

(6x6)

dev→

* 1/2c O ...