Appunti completi Analisi matematica 2

Esercizi:

Esercizio 1) La funzione é simmetrica

rispetto all’asse y perció

é pari e si puó porre la

parte dispari uguale a 0

La serie di Fourier di “f” ha la seguente forma:

Calcolo dei parametri:

Sostituzione dei parametri ottenuti:

Studio della convergenza:

|sin (x)| é continua |sin (x)|

La serie di Fourier converge a

Esercizio 2) La funzione é simmetrica

rispetto all’origine perció

per é dispari e si puó porre

la parte pari uguale a 0

per

La serie di Fourier di “f” ha la seguente forma:

Calcolo dei parametri: “b2k” indica un i valori pari di k

“b2k-1” indica un i valori pari di k

Sostituzione dei parametri ottenuti:

----> con “b ” che si alterna tra i 2 valori indicati

k

Studio della convergenza:

per

per

f (x) converge a per f (x) converge a f (x)

per

Integrali doppi

- Gli integrali semplici ( ad una variabile ) servono per calcolare l’area di una

funzione, mentre gli integrali doppi ne colcolano in volume

- Gli integrali doppi riguardano le funzioni a 2 variabili indipendenti e a

differenza delle funzioni ad una variabile si integra su una superficie ansiche su

un segmento.

- L’elemento dxdy rappresenta un quadrato infinitamente piccolo che moltiplicato

per f (x , y) dara come risultato il volume della colonna compresa tra la funzione

e il piano xy

Calcolo degli integrali doppi:

La formula di riduzione permette di calcolare un integrale doppio

come due successivi integrali semplici

Esercizio 1) integrale doppio su dominio rettangolare

Svolgimento:

1) Come prima cosa, utilizzando la formula della riduzione, si decide la variabile da

integrare per prima ( in questo caso la x ). Durante l’integrazione di questa variabile si

andrá a trattare l’altra come una costante.

2) Una volta svolto il primo integrale è sufficiente integrare nuovamente la funzione

ottenuta dalla prima integrazione prestando particolare attenzione a non confondere gli

estremi di integrazione

Esercizio 2) integrale doppio su dominio rettangolare

Svolgimento:

Esercizio 3) integrale doppio su dominio normale rispetto ad x

“D” sarebbe la base del solido a cui andremo a calcolare il volume

Testo:

Svolgimento:

1) Si inizia integrando per prima la variabile avente come dominio una funzione ( in questo

caso la y ), il metodo di integrazione rimane lo stesso degli integrali doppi trattati

precedentemente, ovvero si applica la formula di riduzione.

2) Una volta svolto il primo integrale è sufficiente integrare nuovamente la funzione

ottenuta dalla prima integrazione.

Esercizio 4) integrale doppio su dominio normale rispetto ad x

Deduzione Se allora

Svolgimento:

Esercizio 5) integrale doppio su dominio normale rispetto ad y

“D” sarebbe la base del solido a cui andremo a calcolare il volume

Testo:

( L’equazione di una circonferenza C ( 0 , 0 ) è:

Svolgimento:

Cambi di variabile in integrali doppi

- Per matrice jacobiana si intende una matrice che ha per valori sulle righe i

gradienti delle due componenti della funzione.

- Per gradiente si intende la derivate parziali delle 2 variabili che compongono una

funzione .

Esempio:

Esercizio 6) integrali doppi in coordinate polari

Testo:

Svolgimento:

Esercizio 7) integrali doppi in coordinate ellittiche

Testo:

Svolgimento:

Integrali tripli caratteristiche e differenze

Come vengono utilizzati:

Integrali di linea ( o curvilinei )

In matematica, un integrale di linea (da non confondere con il calcolo della

lunghezza di una curva usando l'integrazione) o integrale curvilineo è un integrale in

cui la funzione da integrare è valutata lungo un cammino o una curva. Sono usati

vari differenti integrali di linea. Nel caso di percorsi chiusi l'integrale di linea è

anche chiamato integrale di contorno.

Metodo di risoluzione:

Testo:

Svolgimento:

Esercizio 8) integrali curvilinei con curva regolare ( elica )

Svolgimento:

Esercizio 9) integrali curvilinei con curva regolare ( segmento )

Svolgimento: