Appunti Campi elettromagnetici

Equazioni di Maxwell

Possiamo dalle leggi fondamentali dell’elettromagnetismo far derivare il sistema delle equazioni di Maxwell.

• 1a Legge di Maxwell

Variazione del tempo

Dalla legge dell’induzione di Faraday-Neumom sappiamo che la circuitazione del campo elettrico \(\vec{E}\) su una linea chiuse “s” è uguale alla derivata temporale del flusso del vettore induzione magnetica \(\vec{B}\) cambiata di segno.

\(\oint_s \vec{E} \cdot d\vec{s} = -\frac{d}{dt} \int_s \vec{B} \cdot d\vec{s}\)

Applichiamo il teorema di Stokes e otteniamo:

\(\int_s \vec{\nabla} \times \vec{E} \cdot d\vec{s} = -\int_s \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{s}\)

Che si può semplificare con una relazione locale (non più integrale):

\(\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\Rightarrow\) 1° Equazione di Maxwell ai rotori

Dominio della frequenza

Per passare nel dominio della frequenza dello stesso modo il campo elettrico \(\vec{E}(z,t)\) e il campo di induzione magnetica \(\vec{B}(z,t)\) con coefficienti fasori:

\(\vec{E}(z,t) = \text{Re}[\vec{E} \cdot e^{-j \omega t}]\)

\(\vec{B}(z,t) = \text{Re}[\vec{B} \cdot e^{-j \omega t}]\)

Quindi \(\Rightarrow\)

\(\vec{\nabla} \times \text{Re}[\vec{E} \cdot e^{-j \omega t}] = \text{Re}\left[-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot e^{-j \omega t}\right]\)

\(\Rightarrow \text{Re}[\vec{\nabla} \times \vec{E} \cdot e^{-j \omega t}] = \text{Re}\left[-j \omega \vec{B} \cdot e^{-j \omega t} \right]\)

\(\Rightarrow \vec{\nabla} \times \vec{E} = -j \omega \vec{B}\)

II LEGGE di MAXWELL

Andamento del tempo:Partendo dalla legge di circuitazione di Ampere:

∫_S H ⋅ ds = ∫_S m d = ∫_S m ∫_S d

applichiamo il teorema di Stokes:

∇ x H md = ∫_S md = ∫_S dB/dt m d

⇒ ∇ x H = Js - dD/dt→ II equazione di Maxwell ai rotori

Js = dD/dtDENSITÁ DI CORRENTE DI CONDUZIONE [A/m²]N.B. Lo carico non si esplicita ma cambiadirezione per effettodella displacement deidipoli.

Dominio della frequenza:Sostituisco H(t) e D(t) con i loro corrispondenti:

H(t) = Re[H₀ e^jωt]D(t) = Re[D₀ e^jωt]

⇒ ∇ x H e^jωt = Js + d/dt Re[D₀ e^jωt]⇒ Re[∇ x H e^jωt] = Js + Re[d/dt D₀ e^jωt]

⇒ Re[∇ x H e^jωt] = Js + jωD₀ e^jωt⇒ ∇ x H = Js + jωD

Forme le equazioni di Maxwell possiamo descrivereogni tipo di problema elettromagnetico che può essereoltre rate e dove:1) Tutti i termini del 2^o membro sono incompi... otutte le origini, le modulate e compio sono postenel sistema delle regimens ed interesse

2) Quei tre termini del secondo membro sono noi esono quindi descrivendo 2 densità di corrente imposta1 elettrica e 1 magnetica.

∇ x E = - dB/dt + JmDENS. DI CORR. MAGNETICA IMP.

∇ x H = dB/dt + IΣi DENS. DICORRENTEELETR. IMPRESSA

Le prime proprietà caratteristiche di un mezzo sono:

• Linearità "L": Quando la relazione tra causa est. (effetto) e interno uso il principio di sovrapposizione degli effetti.
• Stazionarietà "S": Quando le sue caratteristiche sono indipendenti dal tempo.
• Omogeneità "O": Le sue caratteristiche sono indipendenti dal punto del campo considerato.
• Isotropia "I": Le caratteristiche sono identiche in ogni direzione del campo.

Ad esempio nell'effetto:

• Ad dispersione nel tempo: L'effetto è osservato da una causa applicata solo nel sistema considerato.
• Ad dispersione nello spazio: L'effetto osservato in un punto dipende dalla causa applicata solo in quel punto.

Mezzo < L.S.O.I. nom: Mezzo omogeneo e isotropo.

1. P(x,t) = E₀ * E(x,t)
2. H(x,t) = μ₀ * H(x,t)

σ(x) E(x,t) per un mezzo dissipativo

D(x,t) = E₀ E(x,t) + δE(x,t)

B(x,t) = μ₀ H(x,t)

Mezzo < L.S. non O. I. nom.: ε/μ₀/μ/σ diventano funzioni del punto del campo.

Modello di Lorentz (per elettroni polari)

Il modello di Lorentz è uno dei modelli con cui si studiano le radiazioni luminose con strumenti classici, assumendo che la polarizzazione = elettroni e quella elettromagnetica. Entrambe cambiano con il classico schema meccanico. Possiamo considerare come classico elettrico le radiazioni delle onde moptiche e possiamo pensare che gli elettroni viaggino negli atomi come piccoli oscillatori. In ogni caso quando un campo elettromagnetico interagisce con un atomo, solo la carica cambierà posizione col suo intensità. Non trascurare le distorsione tra le sue laconicità.

• Vettore di polarizzazione: laurea

Considerando "P" di ogni rigido, per unità del volume, vediamo che il vettore di polarizzazione laurea "pu" è detto che:

P = N . q . x̃

Bisogna considerare il movimento dalla carica "q" rispetto alla carica +q" per indicare la relazione tra "P" ed "E"; lo spostamento avviene sotto l'azione delle forze:

• F. di Coulomb: F = -q . epsilon . x̃
• F. elettrica: F = k . x̃ . x̃₀
• -F. di SPOLEZZAMENTO: F = β _dα^dζ x̃̃₀

Per fenomeno. regole alla I legge di Newton ∑_me =

 => m_d²x^dt² = -q . epsilon . k . - β d_dx^δt

d_d²p^dt² + β d_p^dt + k . P(t) = N . q² . ε(x) P(x) = N . q₉ . x

Passando nel dominio dei fasi e sappiamo che

d_dxm^jω =

(-mω² + jβω ⁺ k) P(ω) = = Nq² . E(ω)

Quindi:

P(ω) = _{N^q₂q² . E(ω)}    = _{N₂² . 1}    = _{m (ω₂² - ω² - jβ . 2 . αω)} E(ω)

con ω₀ = _k^E e α = _β₂

EQ. DI HELMHOLTZ NON OMOGENEA

a) L'obiettivo è quello di ricavare un'equazione differenziale al 2° ordine alle derivate parziali in una sola funzione incognita la cui soluzione intrinseca è come rettamente campo elettromagnetico. Sviluppiamo delle equazioni di Maxwell con relazioni costituenti comunemente dette commentando

Sostituendo le relazioni costituenti nelle equazioni di Maxwell:

• ∇ × E = -J _mi - iωμH
• ∇ × H = J_i + σE + iωE

Fermaando l'assegnamento alla 2 equazioni e reiteandole che la divergenz di un rotore = β:

∇ × H = J_i + iωεE

• Sappendo che D E rotore ---- (Δ) causa il

Gradiamento delle divergenze di "E" memo (E appare da secondaria eliminando J_i):

• ∇ × (∇ × E ) = -∇E = -∇ × J_mi - iωμH
• ∇²E = -μω2E = - ∇ × J_mi - i ωuJ + iωμJ_i

EQ. DI HELMHOLTZ NON OMOG CAMPO ELETTR.

K = K²

• ∇²E + K²E = ∇ × J_mi + iωμJ_i

Fra tutte le solezioni dolci equazione prendiamo quella che fa soddisfa la relaziorne delle divergenze da E :

• E = ∇ ×

w

K₂ = μω , β = β_x

COST. SAC ATTEN.