Appunti Analisi matematica 2 - continuità

X

+

+ :

in =

= =

,

, x 1

+

+ , CONTINUA 3

PER TEO

variabile)

/Funzioni 2

Teo

Continue

sola

una per

di )

FUNZ

(PRODOTTO CONT

Di .

COMPOSIZIONE CONTINUE

FUNZIONI

DI

MOTIVAZIONE A(X f(x

Teo

y/er2

CONSIDERIAMO Teo

X(X 3

4) X y2 di

TIPO Non

FUNZIONE 2

adoperare

Grado e per

DEL provare

in y)

Siamo

: +

UNA che

=

, , , ,

Le “funzioni composte” ogni volta def1 o teo1, diamo il seguente teo4, che contestualizzeremo prima con il seguente

Per

É ?

IN R Evitare Di per

CONTINUA Usare esempio:

J

- f(x

00)

(0 sj

F(t) t y) -R

y2 (0

: Im(g) y)[J

g(x X y2

+ Xi

Osserviamo

+ y)

y) g(x

+ CHE +

= +

Allora

: =

= = =

, , =

= ,

, , F(g(x y)

· ,

TEO4 f(r) [g(r)) E

X-R

=+

Jallora

Im(g)

XIR" J

F(t)

Siano e

JeIR Jer :

X-R Continue X continua

Continua X

g(P) in in

in

:

: ,

,

, ,

ES 4 h(x

excosy

hy(x log(2 yz)

Teo 12: y)

APPLICANDO x

y)

El

i CONTINUE

Le ;

3

2 Seguenti Funzioni in + +

sono =

= ,

, ,

[Da Esercizio]

VERIFICARE Per

5

ES D

Studiare Continuità Delle Funzioni

seguenti

in :

la

S SVOLGIMENTO FIXY continu

1003

EM (Y)

2)

X(X PERTE E L

in

OSSERVIAMO Riso e

in QUANTO

Che ,

se(x (0

y) 0)

=

, , lim

Bisogna provarlo in (0,0) adoperando il TEO 1 Per un esercizio sui limiti della maggiorazione quindi

f(x

si può concludere che è continua in 01)

(10

& 2

R

y) ,

,

ma non è continua in (0,0)

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI UNA FUNZIONE DI 2 VARIABILI REALI MEDIANTE LE

COSIDDETTE CURVE DI LIVELLO

MOTIVAZIONE & Paraboloide y2

x2

f(x ER2 z +

: =

f(x

CONSIDERIAMO y)

y2

X

FUNZIONE

AD LA y)

ESEMPIO + 3

= ,

,

, figz

f(x

Celm(f)

Sia yz

X =

c( c

>

consideriamo

e +

y) =

=

,

↓ Z

L'origine C

Centro

Reale Degli Assi E

CON

Circonferenza =

↑

(0 r)

dei Reali

Sottoinsieme +

= , d)

2)

((x ((x

c) c) [c(0

(c

<Elm(f) f(x

R2 +m

y) yz

x

y)

DEFINIREMO y) +

:

Curva livero

Di :

SEGUITO

NEL < : ,

=

= =

= =

,

, ,

figh Frontiera

Mediante

13 il

Invece Il Grafico

VISTO

GRAFICO Si seguente

CONSIDERARE In

COMPLETO

Di può

In Nel piano

presentare

,

Curve Livello

Di figa

a celm(f) [o

f(x Un

00)

Si Ad

rappresentiamo

fa di

Notare le 4

in C

che Livello

curve associate

y) 4 + se

esempio

=

= , =

,

, , .

(Ic(0

⑭ ((x

Va a]

f(x 2

2 y2

xz 0)

y) x2 y)

yz

+ +

=

= =

: =

, ,

, figh f(x

livello il

Curre

Osserviamo il

di Grafico della

intersecando

Le funzione y)

z piano

sono

in ottenute con

che = ,

(

/f é

(z d

piano protezione

associata Non

parallelo che la della

curvadi altro

Livello

la

c

al z :

= =

figa f(x

Z z piano

c

y)

Intersezione sul z

Curva = o

=

= ,

,

livello

Carra

DEF 1 di c)

((x

CeIm(1)

f(xy)

XIR2 se Wa

Livello

Siano f(x

EX

X Curva di

Definiamo L'insieme

C y)

y)

: : =

: =

, ,

,

, . ,

OSSI Si OSSERVA CHE

UcIR2

i) avrebbe

f)

Cer/Im(1)

Im(f) perché figa O

zil si all'insieme Vuoto

se Uguale

si

come può

ce :

considera

si l o

considerasse

se

in

vedere si ,

Livello Im(f)

G re di

DEFINIRE

PREFERISCE NEL

Si Ce

QUINDI LE Caso

funzione f(x XX

Livello EX X

ESI y2

y)

di

Le

DETERMINARE Curre 1-x2 definizione

L'insieme

della y di

aver Determinato

dopo

= ,

- ,

, r

Is

X 1 y2

x2 - (0 0)

y221

x0 sx z

= - + ,

((x 2) ⑭

((x

f(x c)

(c X y)

y) [2(0 y)

y) 0) x

2

= : = :

= = -

= =

,

, ,

, /

c)

((x [m(0

y(t x)

0) y2

2 =

= : - -

, ,

((x 22]

[2(0

y(z x

0) yz 2

+

= =

: -

, ,

I

2 01

(0

= 2. ,

Questo esempio ci fa notare l’importanza di insieme in def 1 la condizione Infatti, se. Come si evince dalla fig3

f(x Im (f)

CEIm(f) 1]

[0

yz

1 xi

y) =

= - -

, ,

((

Ja

1)

ce(0 l'insieme 0

Fy(0 x

Y) 2 y)

noti

si

e caso

nel c

che e =

% =

: -

= ,

, , t

o

2

OSS

Le curve di livello trovano applicazione in METEOROLOGIA in cui usualmente vengono rappresentate le curve ISOBARE, ovvero le curve in cui la funzione

PRESSIONE ATMOSFERICA è COSTANTE. Analogicamente in TOPOGRAFIA si hanno le mappe con le curve dei punti che si trovano alla stessa “quota” rispetto al

livello del mare, anche quelle sono delle curve di livello

ES 2 f(x Y2

f(x

Ri10 Yy2

*

03

Considerate g(x y)

y) g(x

-i y)

funzioni y) Definite Da

le =

: =

, ,

, ,

,

, ,

PROVARE CHE

Y f(x

MEIR Livello

Carre

di

mx di 4)

variare

· al Per

= sono La ,

,

,

?,

Y Soy livello

· IRi

ax Curre 4)

variare

al di

= g(x

a sono di

e per la ,

, -

f(x

Grafici di funzioni dipendenti da una sola variabile reale

y) Xei)

((x

, p)

w

Presentiamo l’argomento mediante due semplici esempi :

= ,

.

: COSTANTE

~

f(x Scient

Riportiamo il grafico di

8 -

8,(x y)

y) siny

(x y) +

; 0

= ,

=

, ,

,

,

Se consideriamo nel piano Possiamo facilmente rappresentare il grafico della funzione nel piano e poi possiamo proiettarlo su tutti i piani

* y(X 0)

k(y)

siny siny

z

z =

=

=

=

LE

2

X = ,

Osserviamo che se [ 1]

ceIm(f) 1

= ,

((x c) 4(x xei]

(c y) 12 inc)

sery

= :

= = -

=

, ,

B B()

: = =

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI REALI DI N VARIABILI REALI

2)

(n N nx

- -

,

MOTIVAZIONE

In analisi I considerata una funzione , considerato , si aveva la seguente definizione di funzione derivabile

b)

f(x) R XoE(a

b)

(a

: ,

,

DEF diremo che la funzione è derivabile in se ESISTE FINITO il in tal caso si definisce derivata prima della funzione nel punto

f(xote-fvhm fe- f(x)

f(x) Xo b)

(a

Xot , ,

e si denota con , il precedente limite, ovvero: f(x0)

f(x) lin

: = The se

o o

f(x) Df(xol)

In letteratura per indicare tale derivata si usano anche i seguenti simboli equivalenti f(x) -

, ,

OSS1. Per semplicità didattica presenteremo le nozioni relative a “DERIVATE PARZIALI e DIFFERENZIABILITA” nel caso semplice n=2 poi estenderemo rapidamente

le nozioni introdotte al caso generale soffermando velocemente la nostra attenzione al caso n=3

n EI 2

n >

,

DERIVATE PARZIALI

Introduciamo la teoria nel caso n=2

f(x

DEF 1 siano cR (Xo

A You

AGR y) :

Aperto , ,

, f(xoth

, Yo)-fXo

him

Diremo che la funzione è DERIVABILE PARZIALMENTE RISPETTO ALLA VARIABILE X, se ESISTE FINITO , 8x

in tal caso, si definisce DERIVATA PARZIALE RISPETTO ALLA VARIABILE X il precedente limite, e in simboli si dice con Yo)

(X0 ,

N .

↳

Y Yo

= Yol-f(x

f(xoth

Ovvero 8x lim l

40)

(X0 ,

,

=

, fx(x0

OSS 1 Ulteriori simboli per indicare la derivata parziale rispetto a X sono:

Yo

,

28(xo Yo f(x

Dx y

, h(x) f(x

OSS 2 Siano aperto Se allora posto:

Yo)

(x0

f(x 8 x(x0

AGR R

A A

4) yo)

40

-+ -

:

, , =

:

, . ,

,

a

(40)

Si HA

7 8x h(xoth-h(x)

lim

= h

h'(Xo)

=

Da quanto sopra segue che adoperando OSS 2 si può procedere con le regole di derivazione introdotte in analisi 1 per funzioni di una sola variabile 2023

11

10 -

-

DERIVATE PARZIALI Consideriamo la retta su cui ci -n Xo

X =

f(x

DEF 2 Siano aperto, (X0 muoviamo, che passa per X0 e Y0,

Yo)

st (Xo

A

AGR A Yoth)

y) E Uso

: ·

,

,

, , ,

è la retta X=X0, e su di essa

f(x

Diremo che la funzione e DERIVABILE PARZIALMENTE rispetto alla variabile Y se ESISTE FINITO

y) (Xo Yol

possiamo considerare un

, 4 >

- . ,

&

f(x Yotk)-f(x

in In tal caso, definiremo il precedente limite DERIVATA PARZIALE (o derivata

, incremento K

, (x0 20th) no

yol ,

28 ,

Dyf(xo

f(x0

parziale prima) rispetto alla variabile Y e la indicheremo con (o equivalentemente ( yo)

40) o

, ,

,

line

Yot-f(x

8y(x0 *

187)

Ovvero 0 Xo

40) ,

=

, f

= (4)

:

1

-

= Yoth)-f(x

OSS 3 se nella DEF 2 si considera la funzione ausiliaria , la ( ) si può riscrivere nel seguente modo

f(x fy

[(y) f(x

Lim

4) 8y Y)

40)

(X0

: = 0 ,

= ,

, ,

lim K(YotK)-(Yo (vedi

=E En

uguaglianze) (Yoth)

I'(Yo)

= perché 7fy(Xa Yo o

~ precedenti

membro delle

abbiamo 2

supposto che , fy(x0

Quanto sopra evidenziato ci consente di applicare negli esercizi il seguente algoritmo per calcolare qualora esista:

40)

,

Si considera la funzione: ↑ f(x0

i) y)

(y) = ;

: ,

fy(x Ed essendo una funzione di una sola variabile reale ad essa possiamo applicare tutte le regole di derivazione viste in analisi I

'(40)

= (x)

40)

ii) : ,

,

Diamo adesso i seguenti esempi: f(x

es 1 Determinare, se esistono le derivate parziali (rispetto a X e rispetto a Y) in della funzione

yoER2

(x0 x y3

y) +

=

,

,

Svolgimento

Procederemo in 2 modi:

• mediante DEF1 e DEF 2 ;

• Mediante OSS 2 o OSS 3