Appunti Analisi matematica 1 sui limiti

D'

Xo z do >

.

⑧ Xr

f(x)

GRx

7 fA)=e USXnInCA =D

&D pe

XnExo

-Xo

An -

,

COND 2

COND 1 .

. l

Qualunque successione

prendo le

faccio la

immagini deve amicinars

che

An ad

To e

va verso ne .

,

ESEMPIO

lim a)

sin A du(0

( - >

↑

X +0 a +

,

= , 0

0

x -> nel

prendo olominio

ora che

una va zelo

succ verso

↑ EA

Xn = 2nπ

↑ +

-

↓

0 1 6 la

(+

f(xn) 2ni)

=sin quindi turizero quindi il

fana

e di

n

em suce

l .

= = limite sempre

2nπ zero

è

M + .

2(xn) x0

0 -

=

l

* EA

n = 2 2nπ

+ * 0

I em( 2nT)

(n) succensioni di

& 1 1

tuti

sem = + .

=

= 1

= 2

+ imm

f( Le

* n) quindi

1

An

1 1 un'altre

ma Vanno con

con nuce venso

zero e

verso

-

= .

. ,

il limite lo

Esiste solo

esiste verso numero

vano

. se stesso

non

questo negare

serve l'esistenza del

a

teorema LIMITE

E

f(x) ben

= Oscilla

infinito allora tra It

quaudo x verso

La

0

-> ,

, ancini

pil la frequenze

pili aumenta

ter

a e

ci

u x 2

E

f(x) 2(x)

sen

x

= =

I ............

A

...

"Hammef

...... Imm

..... 7

-

,

-

DIMOSTRAZIONE

D)

(

1) P N =

. . f(x)

ip lin 2

: =

xo

X(xn3ncAXn

ts &

f(xn)

Xn Xo P

-Xo ->

: =

,

Gx f(x) &

SO CHE : = fisso intomo Xo-8

di

fisso S

XneA Xo Xo

Xn-xo n u +

,

definizioni

le limite

scivo di :

*2>078 acf(x)cl

D l

f(2) Yx=A0c(X-xoI

· >0 E

- +

=

:

: i ts

auche

vera questa vera

e

e => . .

oc/X-Xol

VE<0 (E)EN An

In

· n

n e

8 questa

: vene

se

> parte

= =

= acf(xn)cl

n(2)eN Anc n l

De

FEL0 xf(xn) o

=5 a V

c

= + = -

-

=

, .

.

.

:

(0)

2) P S

. . F (Xn3ncA In EXe

ip Xn Xo

: = ,

f(x) &

lim

Es f(xn)

2

: D ->

= =

Xx

x -> Non esistenza

Quindi

DIMOSTRO Per assurdo LIMITE

del

La

, .

limite la

definizione di

la

scivo peima nego

poi

e (f(x) e)

FxeA0c(X

* 2x07S f(E)10 xoI E

<

:

= = -

- Ie)

(stafoni

e)

7550 78305xeA 01x

negazione 2

(f(x) dall'

x0/5 :

:

: - -

,

I

5

Es

. = ocln-xo el5

5530 If(xn)

>N 7XneA

: : -

,

↓ ↓ I ↓

(Xn) n cD xn x0

+

↓

0 0

perce

it tende it

quando modulo modal

e

tele quindi Xo

auche xn

senza

a sen -

,

, l

e

di

1 immagini quindi

stauro

le dall'intorno

fuori

f(xn) perche

vene

non

cosa

=> + ,

e l'assurdo

b .

ciò dovrebbe

che euccedere

Da funzioni

vale le

dire la nuccessioni

questo teorema vale

che

cio

che auche

pen

poro pez .

UNICITA

TEOREMA LIMITE

DEL

DI

I lix valeva le

f(x) function

vale

successioni

unico se

per anche con

so e e

,

CONFRONTO

TEOREMI DEL AcIR A

A FO

R A

f Xo I

: accumulazione

lo

- oli

devono avere punto

stesso

A D 2IR Xoel

R 0

g -

: =

⑰ Eg(x) A'n

Xxc

) f(x) ,

2) f(x) &1

lim

I = e la

Xo

x -> =

2x 12

f(x)

5 =

⑭ 3

f(x)

1) 0

, 25 0

=> ,

2) f(x)

ex e

5 =

⑭ e

1) f(x)

lim

I =

xo

* -> -[xo} e

f(x)

Xxe1xoA

5Exo =D 0

>

=> : .

l

2) 0

+

⑭exf(x) /f(x)=

e le

= x

lix Gx(f(x))

f(x)

PERO'Se 0

D

0 =

=

& h

f Al

R

ca A Xo c

y : -

, , h(x) A

Xxe

1) f(x) g(x) = ,

- exg(x)

=> e

=

Ex (x)

Gxf2x)

2) e

= =

⑪ f Xoe A

A bR

g SEMPIO

: E i

-

, , ein

f(x) x 0

->

=

1) limitara

f g(x)

è x

=

4 Rf(x) g(x) 0

= . = I

eim sim 0

X =

.

2) line g(x) 0 0

x ->

=

x xo

- DE

TEOREYI OPERAZIONI

Delle la la

citmetizzazione forma indet

e'

LMIT deve

ar

nenne non avere

, .

INFINITI ED INFINITESIMI: CONFRONTO E PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE

INDETERMINATE

FORMULE 8 8 18

+ 0 N 0

0

: .

- ;

; ;

AcR

A

f A

R AFO Xoe

-

: ,

infinito Gx

f f(x)

per be

un xo

e x

· -> 8

= =

f lim f(x)

infinitesimo

e x 0

un per xo se

->

· =

Xo

x ->

infinito infinitesimo

< e

f(x) e'

es 0

x un per

> un per x

0

: ->

x ->

= + ;

eun infinito

f(x) euninfiniteormo

>1 x 8

pel

q per r

q x

- -

+ -

;

=

CONFRONTO INFINIT

DI XoCA'

A

f ACIR

A-DR FO

g : ,

,

infiniti Rel Xo

x - i infinito

f(x) inferiore q(x)

oroline

di

I è un a

=> nella e

potenze

o quello 01

ag(x)

f(x) superiore ⑧

f(x) 0 più

=D 11 alto

11

I Il l'esponente

exo - infiniti

g(x) KF g(x)

0 oroline

f(x) dello

D stesso

sono

e

=

* infiniti confrontabili

↳ due

D I

= sono

non

g(x)

f(x)- k pei xo

& x

. + infiniti

it

vale gli

principio di sostituzione pen

· : f(x) f(x)

infinito

f(x) g(x)-

inferiore y(x)

oroline

di

è D

un +

a =

x

x0g(x) e diord

>x0f(x)

f(x) ag(x) Ren

a xo

> x

- = =

= f(x)

f(x) q(x) diordine

q= ag(x) per

q 1 x to

p <

> ->

>

=

- =

10 LIMITE NOTEVOLE

1 1 la

ho

lin lin 18

forma quando F I

e

1 usato

=e 1 -

+ + = . .

X

X -

x ->

->

x N

+

IMPORTANTE AVERE

E STESSA COSA

La &

-> I E

& Gerarchia INFINITI

ANCORA PER La Degl

X-

VALE

GERARCHA o

+

.

xX lox

=

q x

1 &

9> >0

ES : **

a)

exo(1 =

+

· exA(x) 1

= vince

2

-e

x 3 2x

+

lin +

· =

V

5

x -

* +

- ek OcD'

( x)

0)u(0

ein D a

· = - +

= , ,

0

x - 0

e + &

= +

=

Da infiniti

dedlucia

limite importante

questo e'

che olegli

non avere ottenere

pen

x 1

+

0)

lim 0)u(0

(

b

e

· a

= -

= +

,

,

0

x -> E =- nella aritmetizzazione ie

im infinito funzione

dipemole dalea

di e ma

so =

= , O

E -90}

dominio

il ⑨

vicino

e

che ma

zero

so a e I

-

#

I limo - E il

e distinguere solo e

possono of

si

o c

= =

+ -

+ olominio olx che

sia

e se

a

a

lin im in

ie dal im

Se calcolare cas vengono

cesto di ~-> o

par of

viene momento e

spezzo

ai :

, ,

perche' il

ricordiauwei

il linite

liweite

differenti UNICO

de risultati allora che è

esisie

non

, ,

al livite

Tornando : 3

ot +

e No

= +

E 5

complessivamente

lo

2 *

-

e 0

=

0 -

1 =

0

X

lin n)

(0

D

e mmm

· >0 ·

x

- = +

,

0

x -> r

+

=e d

+

= esse problemi la

responente rade

a

procedere o e

Perche

miriche che come

ma non sone e

,

dx

olominio 2000 ola

è .

INFINITESIMI

CONFRONTO A Al

ACR

A

f BR FO Xo e

:

g - , ,

,

fig infinitesimi per x Xo

-

! ordine f(x)

superiore

imfinitesimo

g(x) di

un a

⑳ è

= oroline

infinitesimo

f(x) q(x)

superiore

e di

ex un

0 a

- imfinitesimi ordine

f(x) g(x) Sono dell

0

K Stesso

= , confrontabili

f(x) gCxs sono

non

* ,

Es : infinitesimi

xc

f(x) 0

sono

o

· < x

per

> ->

= 3

g(x) x

= &

x

f(x) l'infinitesimo al

lin es

e significa

ein x 0 che numeratore

-

= 0X =

0g(x) x

x ->

- famiglia più

delle

nella alto

l'esponente

quello

comandare

potente e

a com

,

di

supponiamo avere

penò

f AcR A FO toA'

biR

A

:

g - ,

, ,

imfinitesimi

↳ Xo

x

per ->

Lis infinite emi

ordine

f spemore come

g

a f(x)

f(x) g(x) =GiMxg(x)

lin + 1

1

+ =

x x8 g(x)

- I im (odinemp)

quanto

o > g

imfintermi it

f(x)-Kg(x)

f(x) limite

orolime

dello

gei

g(x) quando etesso = e

sono

+ la

l'uno etima crimiorica dell'altro

Sono

cambia

non .

f(x) infinitesimi Togliere

im f(x)

Termini

g(x) che

quello

di comanda

che

posso è

+ , .

,

PRINCIPIO Sostituzione

Di INFINITESIMI

DeGU

In ordine

infinitesim di

infinitesimi

di gli

trascurare euperiore prsche

possiamo

una somma ,

piccolo

Rimanga si

il elidano tutti

più e non .

"O PICCOL"

f infinitesimo di ordine quando Xo

superiore

un g

è a x ->

· ,

fax o(g(x)

live Df(x)

0 =

= =

xg(x)

x + [per

un " xo]

piccolo" di g(x)

fe x

o + sostitufrome

(9(x)) lo

f(x) piccolo

Se il principro

io '0 tolgo perche&