Appunti Analisi matematica 1

Registro delle lezioni del corso di Analisi Matematica

Università di Firenze - Scuola di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica e Gestionale E–N

a.a. 2016/17 - Prof. M.Patrizia Pera

Prima parte

a

1 settimana - dal 19.9.16

• Testo di riferimento :

- Anichini G. – Conti G., Analisi Matematica 1, Pearson Education, 2008.

- Anichini G. – Conti G., Analisi Matematica 2, Pearson Education, 2010.

• Testo consigliato per consultazione :

- Bertsch M. – Dal Passo R. – Giacomelli L., Analisi Matematica, McGraw Hill,

Milano 2011.

• Testo consigliato per i prerequisiti:

- Anichini G. – Carbone A. – Chiarelli P. – Conti G., Precorso di Matematica,

Pearson Education, 2010.

• Testi consigliati per esercizi:

- Benevieri P., Esercizi di Analisi Matematica, Ed. De Agostini, 2007.

- Marcellini P. – Sbordone C., Esercitazioni di Matematica 1, Liguori Editore.

- Marcellini P. – Sbordone C., Esercitazioni di Matematica 2, Liguori Editore.

- Salsa S. – Squellati A., Esercizi di Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2011.

- Salsa S. – Squellati A., Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2011.

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Analisi Matematica – c.l. Ing. Meccanica e Gestionale E–N– a.a. 2016/17 – M.P.Pera

Cenni di teoria degli insiemi. Vari modi per rappresentare un insieme. Unione

e intersezione di due insiemi. Sottoinsiemi di un insieme. Sottoinsieme proprio.

Insieme vuoto. Complementare di un insieme (rispetto ad un universo assegnato).

Leggi di De Morgan. Differenza tra due insiemi.

Cenno ai quantificatori: “esiste ” (∃) e “per ogni” (∀).

Cenno ai connettivi logici: “e” (∧), “o” (∨), “implica” ( =⇒ ), “equivale” o “se

⇐⇒

e solo se” ( ).

Esempio. La proposizione “dato un qualunque numero reale positivo esiste un

numero naturale che lo supera” si può scrivere

∀ ∈ ∃ ∈

“ x x > 0, n : n > x”.

R, N

Ricordiamo che in un teorema nella forma A =⇒ B, la proposizione A si chiama

ipotesi e la B si dice tesi. Il teorema afferma che un solo fatto non si può verificare:

che sia falsa B e vera A. Quando A è falsa, A =⇒ B è vera.

Esempio.

1. La proposizione (detta anche enunciato o affermazione) “se un numero è

maggiore di 10, allora è maggiore di 7 ” si può scrivere

“ a > 10 =⇒ a > 7 ”.

2. La proposizione “se un numero è maggiore di 10, allora non è minore di 0”

si può scrivere 6

“ a > 10 =⇒ a < 0 ”.

≥ ≥

Esempio. La proposizione “a b è equivalente a 3a 3b” si può scrivere

≥ ⇐⇒ ≥

“ a b 3a 3b ”.

Richiami sulla nozione di condizione necessaria e di condizione sufficiente e sulla

negazione di una affermazione.

Esempio. Condizione necessaria affinché risulti a > 10 è che si abbia a > 7. Si

può anche dire che a > 10 è condizione sufficiente (ma non necessaria!) affinché

risulti a > 7.

Esempio. La negazione della affermazione “tutti gli studenti di quest’aula hanno

i capelli neri” è “esiste (almeno) uno studente di quest’aula che non ha i capelli

neri”.

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Esempio. La negazione della affermazione “tutti gli studenti di quest’aula sono

iscritti a Ingegneria e hanno i capelli neri” è “esiste (almeno) uno studente di

quest’aula che non è iscritto a Ingegneria o che non ha i capelli neri”.

Esempio. La negazione della seguente proposizione

∀ ∃

“ x > 0 y > 0 : x + y < 1”

è ∃ ∀ ≥

“ x > 0 : y > 0 =⇒ x + y 1”.

Definizione. Si dice prodotto cartesiano di due insiemi A e B l’insieme, denotato

× ∈ ∈

col simbolo A B, costituito dalle coppie ordinate (x, y) con x A e y B. Il

2 3

×

prodotto cartesiano A A si denota anche con A . Analogamente, A è l’insieme

delle terne ordinate degli elementi di A.

Definizione. Un’operazione binaria in un insieme X è una “legge” che ad ogni

×

coppia (x , x ) di X X associa un elemento di X.

1 2

Negli insiemi numerici, esempi di operazioni binarie sono la addizione (+) e la

moltiplicazione (·).

Nell’insieme dei numeri razionali l’addizione e la moltiplicazione determina-

Q

no una struttura algebrica con le seguenti proprietà: associativa, commutativa,

distributiva, esistenza e unicità dell’elemento neutro rispetto alla somma (0) e

rispetto al prodotto (1), esistenza e unicità dell’opposto e esistenza e unicità

dell’inverso di ogni numero diverso da 0.

I numeri naturali (N) e i numeri interi (Z) possono essere pensati sottoinsiemi di

Q.

Osserviamo che in e in alcune delle precedenti proprietà non valgono. I

N Z

numeri razionali si rappresentano spesso in forma decimale (si dice anche in base

10) e, anzi, si può far vedere che l’insieme può essere identificato con gli alli-

Q

neamenti o limitati (cioè con un numero finito di cifre decimali non nulle) oppure

periodici propri (cioè periodici con periodo diverso da 9).

Esercizio. Dedurre dalle proprietà della struttura algebrica di che:

Q

· ∀

1. a 0 = 0, a

· −(a · ∀

2. (−a) b = b), a, b

· · ∀

3. (−a) (−b) = a b, a, b

· ∨

4. a b = 0 =⇒ (a = 0) (b = 0) (legge di annullamento del prodotto)

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≤,

Nell’insieme si definisce anche un ordinamento, che si indica con e che

Q

soddisfa le seguenti proprietà:

• ≤ ≤ ∀a,

a b oppure b a b (dicotomia)

• ≤ ∀a

a a, (proprietà riflessiva)

• ≤ ≤

a b e b a =⇒ a = b (proprietà antisimmetrica)

• ≤ ≤ ≤

a b e b c =⇒ a c (proprietà transitiva)

• ≤ ≤ ∀c

a b =⇒ a + c b + c, (compatibilità con la somma)

• ≤ ≤ · ≤ ·

a b e 0 c =⇒ a c b c , (compatibilità con il prodotto)

≥ ≤

Definizione. Definiamo a b se b a.

≤ 6

Definizione. Definiamo a < b se a b e a = b.

Osservazioni sul significato dei simboli di minore e di minore o uguale. Ad esempio

≤ ≤

le disuguaglianze 2 3, 2 2, 2 < 3 sono tutte e tre vere.

Esercizio. Dedurre dagli assiomi precedenti i seguenti fatti

• ≥ ⇐⇒ −a ≤

a 0 0,

• ≤ ≤ ≥

a b e c 0 =⇒ ac bc,

2

• ≥ ∈

a 0 per ogni a R, 2 2

• ≥ ≤ ⇐⇒ ≤

Siano a, b 0. Si ha a b a b .

Eviteremo in questo corso di affrontare il problema di definire e costruire il sistema

dei numeri reali, che si indica con Tale problema, che nasce dalle osservazioni

R.

dei Pitagorici sull’esistenza di grandezze incommensurabili, ha richiesto secoli di

studi e approfondimenti fino ad ottenere una sistemazione soddisfacente nei primi

anni del secolo scorso con i contributi di Dedekind e Cantor. Ci limiteremo qui

a osservare che dal punto di vista della struttura algebrica e dell’ordinamento,

gli assiomi che permettono di costruire i numeri reali sono gli stessi introdotti in

precedenza nei numeri razionali. Enunceremo in seguito l’assioma di completezza,

una proprietà che differenzia i numeri reali dai razionali.

Proviamo intanto il seguente risultato

2

Teorema. L’equazione x = 2 non ha soluzione nei razionali.

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Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale x tale

2

che x = 2. Senza perdere in generalità possiamo supporre che x sia positivo e

possiamo scriverlo nella forma x = p/q con p e q primi tra loro. Si ha

2 2

p = 2q ,

2

per cui p è pari e, quindi, p è pari (è facile infatti verificare che il quadrato di un

∈

numero dispari è un numero dispari). Di conseguenza, p = 2r per qualche r N.

Sostituendo nell’uguaglianza precedente si ottiene

2 2

4r = 2q ,

2

da cui q e, quindi, q sono pari. Questo è assurdo, perché p e q sono primi fra

loro e, pertanto, non possono essere entrambi pari.

Vedremo tra poco che la proprietà di completezza garantisce che in un tale

R

√

x > 0 esiste. Esso si denota con 2 e, ovviamente, non è un numero raziona-

le. L’insieme dei numeri reali non razionali, i cosiddetti numeri irrazionali, si

indica con Nella rappresentazione decimale, i numeri irrazionali sono gli

R\Q.

allineamenti illimitati non periodici.

Un ruolo essenziale nella teoria dei numeri reali è svolto dall’assioma di Dedekind.

Definizione. Una sezione in è una coppia (A, B) di sottoinsiemi non vuoti di

R

che soddisfano le seguenti proprietà:

R ∩ ∅, ∪

1. A B = A B = ;

R

∀a ∈ ∀b ∈

2. A e B si ha a < b .

Assioma di Dedekind. “Per ogni sezione (A, B) di esiste un numero reale s tale

R

che ≤ ≤

a s b,

∈ ∈

per ogni a A , b B ”.

Il numero s è detto elemento separatore delle classi A e B.

Osservazione. Esistono sezioni dei razionali prive di elemento separatore. Ad

esempio consideriamo la sezione 2 2

{x ∈ ≤ ∪ {x ∈ ≤ {x ∈

A = : x 0} : x > 0 e x 2}, B = : x > 0 e x > 2}.

Q Q Q

L’eventuale elemento separatore s di tale sezione dovrebbe soddisfare l’equazione

2

s = 2 che, per quanto dimostrato in precedenza, non ha soluzioni in .

Q

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Definizione. Un sottoinsieme di con la proprietà che se contiene due punti,

R

contiene anche tutti i punti intermedi si dice un intervallo di In altre parole,

R.

⊆ ∈ ∧

I è un intervallo se è vera la seguente proposizione: (x , x I) (x < x <

R 1 2 1

∈

x ) =⇒ x I.

2

I seguenti sottoinsiemi di sono intervalli (a e b sono due numeri reali assegnati,

R

a < b):

• ∈

(a, b) := x : a < x < b

R

• ∈ ≤ ≤

[a, b] := x : a x b

R

• ∈ ≤

(a, b] := x : a < x b

R

• ∈ ≤

[a, b) := x : a x<b

R

• ∈

(−∞, a) := x : x < a

R

• ∈ ≤

(−∞, a] := x : x a

R

• ∈

(a, +∞) := x : a < x

R

• ∈ ≤

[a, +∞) := x : a x

R

• (−∞, +∞) := R

I primi quattro sono detti intervalli limitati di estremi a e b; i rimanenti sono detti

intervalli non limitati. gli intervalli (a, b), (−∞, a), (a, +∞) sono detti intervalli

aperti, mentre [a, b], (−∞, a], [a, +∞) sono detti intervalli chiusi. Il motivo di tali

denominazioni sarà chiarito in seguito. Per il momento le possiamo considerare

delle definizioni.

Gli intervalli (a, +∞) e [a, +∞) si dicono semirette destre (di estremo a), mentre

(−∞, a) e (−∞, a] si dicono semirette sinistre.

Osservazione. In base alla definizione precedente, l’insieme vuoto e l’insieme

costituito da un solo punto sono intervalli (si chiamano anche intervalli banali ).

Osservazione. L’intersezione di due intervalli è un intervallo (che può essere

eventualmente vuoto o costituito da un sol punto, cioè essere un intervallo banale).

Osservazione. L’unione di due intervalli può non essere un intervallo (lo è, ad

esempio, se l’intersezione è non vuota).

Esercizio. Mostrare che non è un intervallo.

R\{0} ∈

Definizione. Il valore assoluto di un numero reale x è cosı̀ definito:

R

≥

x se x 0

|x| = −x se x < 0

Esempio. |2| | − |0|

= 2 3| = 3 = 0.

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∈

Definizione. Il segno di un numero reale x è cosı̀ definito:

R

 1 se x > 0

 0 se x = 0

sign x = −1 se x < 0



Esempio. −1.

sign 3 = +1 sign(−2) =

∈

Esercizio. Verificare che per ogni x risulta

R

|x| = (sign x) x .

Le proprietà fondamentali del valore assoluto sono:

|x| ≥

1. 0;

|x| ⇐⇒

2. = 0 x = 0;

|x | ≤ |x | |x |

3. + x + (disuguaglianza triangolare).

1 2 1 2

Ulteriori proprietà del valore assoluto che si deducono dalle precedenti sono:

||x | − |x || ≤ |x − |;

4. x

1 2 1 2

|x | |x ||x |.

5. x =

1 2 1 2 ∈ |x − |

Definizione. Dati x , x il numero (ovviamente non negativo) x si

R,

1 2 1 2

dice distanza tra i due punti x e x .

1 2

Definizione. Si dice ampiezza di un intervallo limitato la distanza tra i suoi

estremi.

Osservazione. Gli intervalli (a, b), [a, b], (a, b], [a, b) hanno tutti la stessa

−

ampiezza, cioè b a.

∈

Esercizio. Sia x e r > 0. Provare che l’insieme

R

0 {x ∈ |x − |

: x < r}

R 0

−

coincide con l’intervallo aperto (x r, x + r).

0 0

Provare che l’insieme {x ∈ |x − |

: x > r}

R 0 −

coincide con l’unione dei due intervalli aperti e non limitati (−∞, x r) e (x +

0 0

r, +∞).

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∈

Definizione. Dato un punto x ed assegnato un numero r > 0, l’intorno di

R

0

x di raggio r è l’insieme

0 ∈ |x − |

B (x ) = x : x < r

R

r 0 0

costituito dai punti x che distano da x meno di r. Pertanto, B (x ) coincide con

0 r 0

−

l’intervallo aperto (x r, x + r) di centro x e ampiezza 2r.

0 0 0

Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni:

|x − 1| p 2

≤ − ≤ |x

|x ≤ |x − ||x − 1; x 3 + 1|

+ 3| 1| ; + 1| 2| < 1; |x + 4|

∈

Esercizio. Sia x tale che

R |x| ≤ ∀

, > 0.

Provare che risulta x = 0. 6 |x|

Dimostrazione. Per assurdo, supponiamo x = 0. Di conseguenza risulta > 0.

|x|/2. |x|

Consideriamo = Perciò si ha 0 < < contro l’ipotesi.

0 0

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a

2 settimana - dal 26.9.16

⊆

Definizione. A non vuoto si dice limitato superiormente [inferiormente] se

R

∈ ≤ ≥ ∀x ∈

esiste k tale che x k [x k] , A. Il numero k si dice un maggiorante

R

[minorante] dell’insieme A. ≥

Osservazione. Se esiste k maggiorante di A, allora ogni numero k k è ancora

1

un maggiorante di A. Perciò, l’insieme dei maggioranti di un insieme dato, se è

non vuoto, è una semiretta non limitata superiormente.

⊆

Definizione. A non vuoto si dice limitato se è limitato sia superiormente

R ∈

che inferiormente, cioè se esistono h, k tali che

R

≤ ≤ ∀x ∈

h x k, A .

Esempio. L’intervallo (−∞, a) è limitato superiormente ma non inferiormente,

l’intervallo (a, +∞) è limitato inferiormente ma non superiormente, l’intervallo

(a, b] è un insieme limitato. L’insieme dei numeri naturali è limitato inferior-

N

∈ ≤

mente (ogni h h 0 è un minorante di ma, come dedurremo in seguito

R, N)

dalla proprietà di Archimede, non è limitato superiormente.

Una caratterizzazione degli insiemi limitati è data dalla seguente proposizione

⊆

Proposizione. A è limitato se e solo se esiste K > 0 tale che

R |x| ≤ ∀x ∈

K, A.

|x| ≤ ∀x ∈

Dimostrazione. Sia K > 0 tale che K, A. Perciò, per quanto

−K ≤ ≤ ∈

osservato in precedenza, x K per ogni x A. Questo significa che

−K

K è un maggiorante di A e che è un minorante di A, cioè che l’insieme

A è limitato. Viceversa, supponiamo che esistano due numeri h e k tali che

≤ ≤ ∀x ∈ |k|} |x| ≤ ∀x ∈

h x k, A. Posto K = max{|h|, risulta K, A.

⊆ ∈ ∈

Definizione. Dato A non vuoto, diciamo che M [m è massimo

R R R]

[minimo] di A se

∈ ∈

1) M A [m A];

≤ ≥ ∈

2) x M [x m] per ogni x A.

Si scrive M = max A [m = min A].

Osservazione. Non è difficile provare che, se un insieme ha massimo [minimo],

tale massimo [minimo] è unico. Perciò si dovrà dire che un numero M è, ad

esempio, il massimo di un insieme A e non che è un massimo di A.

Versione del giorno 14/12/16 9

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Esempio. Il massimo dell’intervallo (a, b] è b. Tale intervallo non ha minimo.

{x ∈ − ∈

Esempio. Il minimo dell’insieme : x = 1 1/n, n è 0. Proveremo

R N}

dopo che tale insieme non ha massimo.

Abbiamo già osservato prima che l’insieme dei maggioranti di un insieme di nume-

ri reali non vuoto e limitato superiormente è una semiretta destra. La proprietà

fondamentale che distingue i razi