Appunti Analisi matematica 1

Esercizio

Dato l’insieme trova i punti di accumulazione, massimo e minimo

(−2;

= 4] ⊂ ℝ, − < ≤

Tutti elementi interni all’insieme sono punti di accumulazione per Sia che sono punto di accumulazione per

4 −2

è l’estremo inferiore dell’insieme 4 è il massimo dell’insieme

−2

Metodo di esaustione per approssimare

Archimede, utilizzando il metodo di esaustione, fu il primo ad ottenere una buona approssimazione del .

Considerò una circonferenza di raggio unitario la cui area = ⟹ =

Intuì che all’aumentare del numero di lati, l’area del poligono approssima sempre meglio quella del cerchio, quindi .

I raggi, che congiungono i vertici, dividono il triangolo in triangoli isoscele uguali. L’angolo al centro è diviso in

3 3

parti uguali, quindi Dividendo i triangoli a metà si formano 6 triangoli rettangoli con l’ipotenusa che coincide

120°.

con il raggio. Applichiamo le formule trigonometriche possiamo calcolare dell’area:

60° ⋅ 60° 1 3√3

√3

= 120° = 60° = 6⋅ = 3 ⋅ 60° ⋅ 60° = 3 ⋅ ⋅ =

2 2 2 2 4

Utilizzando lo stesso ragionamento si può generalizzare considerando un poligono regolare formato da lati:

⋅

2 2

2 2

= = = 2 ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

2

2 2

Possiamo indicare l’area del poligono regolare come una successione numerica ℕ ⟶ ℝ ∶ () = ⋅

Archimede capì subito che si può approssimare il valore di considerando una grande, infatti il limite della successione è

() .

Successioni numeriche

Una successione numerica è una funzione con dominio un sottoinsieme di e codominio un sottoinsieme di

ℕ ℝ.

⊆ℕ⟶⊆ℝ ⟶ { } ∈ ⊆ℕ

Esercizio

= = (−1)

Una successione si dice crescente se ogni termine è maggiore del suo precedente. Una successione si dice decrescente se ogni

termine è minore del suo precedente. Una successione crescente o decrescente è detta monotona.

è ≤ ∀ è ≥ ∀

Una successione si dice strettamente crescente se ogni termine è strettamente maggiore del suo precedente. Una successione si

dice strettamente decrescente se ogni termine è strettamente minore del suo precedente. Una successione strettamente crescente

o strettamente decrescente è detta strettamente monotona.

< ∀ è . > ∀

è .

Una successione si dice costante se ogni termine è uguale al suo precedente.

è = ∀

Una successione si dice limitata se tutti gli elementi della successione sono compreso in un intervallo limitato

| |

∃ ≥ 0 ∶ ≤ ∀

è

Una successione si dice convergente se ammette limite finito. ∃ ∈ ℝ ∶ lim =

è →

|

lim = ∀ > 0 ∃ ∶ ∀ > − | < − < < +

→

Una successione convergente si dice infinitesima se il limite della successione è 0.

è lim = 0

→

Una successione si dice divergente o infinita se il limite della successione è infinto.

è lim = ±∞

→

lim = +∞ ∀ > 0 ∃ ∶ ∀ > > lim = −∞ ∀ > 0 ∃ ∶ ∀ > < −

→ → | |

lim = ±∞ ∀ > 0 ∃ ∶ ∀ > > < − ∨ >

→

Una successione si dice indeterminata o irregolare se non esiste il limite della successione.

è ∄ ∈ ℝ ∶ lim =

→

Riassumendo Esercizio

∈ℝ ⟹ ⟶ ⟹

⎧ +∞ ⟹ . ⟶ ⟹ .

lim = −∞ ⟹ . ( )

⟶ ⟹ .

→ ⎨ ( )

⟶ ⟹

∄ ⟹

⎩

Dimostriamo lim = 0:

→ 1 1 1 1

|

∀ > 0 ∃ ∶ ∀ > − | < ⟺ − 0 < ⟺ − < < + < ⟺> ⟹=

Scelto arbitrariamente un piccolo a piacere, troverò sempre almeno un reale che soddisfa la disequazione |

− | < ∀ >

Teoremi sui limiti delle successioni

Teorema di unicità del limite

Una successione convergente non può avere due limiti distinti.

lim = ⟹ è

→

Teorema sulle successioni convergenti

Ogni successione convergente è limitata.

è ⟹ è

Teorema sulle successioni monotone

Ogni successione monotona ammette limite. Ogni successione monotona e limitata ammette limite finito.

è ⟹ ∃ lim è ⟹ lim ∈ ℝ

→ →

Teorema di permanenza del segno lim = ⟹ ∃ ∶ ∀ > ≥0

→ ≥0

1. Corollario 2. Corollario

lim = lim =

lim = → →

⟹>0 ⟹≥

→

>0 ∀ ≥ ∀

Teorema dei carabinieri lim = lim =

→ → ⟹ lim =

≤ ≤ ∀ →

Teorema sulle successioni infinitesime | |

lim = 0 ⟺ lim = 0

→ →

Teorema del prodotto di una successione limitata per una infinitesima

è ⟹ lim ⋅ = 0

lim = 0 →

→

Algebra dei limiti delle successioni e forme indeterminate

( ) ( ) ( ) .

+ − ⋅

→ → → → →

→

→

0

+ − ⋅ ≠0 ≠0

0

±

±∞ ±∞ ±∞ ±∞ ≠0 ±∞ 0⋅∞

0 ∞

±∞ ±∞ ±∞ ±∞ ±∞ ? ? +∞ − ∞ ∞

.

→ → →

→

0

±∞ +∞ 0 +∞ 0 ∞ 1

Esercizio

Calcola ( (

lim + 1) − − 1)

→ . .

( (

lim + 1) − − 1) = lim ( + 2 + 1) − ( − 2 + 1) = lim 4 = +∞

→ → →

Calcola (

lim + 1)

→ . . ∙

1 1 1

(

lim + 1) = lim + =0

→ →

Calcola lim

→ . .

−1 1

lim = lim 1 − = 1

→ →

Calcola lim

→ . . 2 1

1− + ⏞

− 2 + 1 2 1

lim = lim = lim 1 − + = +∞

→ → →

Limiti notevoli di successioni +∞ > 1

1 = 1

lim = 0 − 1 < < 1

→ ∄ < −1

+∞ > 1

1 = 1

Dimostriamo : . : ∀ ≥ 0 ≥ 1 + ( − 1)

lim = 0 −1 < < 1

→ ∄ < −1 (

> ≥ 1 + ( − 1) ⟹ lim ≥ lim 1 + − 1) = lim 1 = 1 = lim 0 = 0

→ → → →

1 1 1

< < > 1 ⟹ lim = lim = +∞ ⟹ lim = 0 = − ∄ lim (−1)

→ → → →

(−1)

1 1

− < < − > 1 ⟹ lim − = lim = +∞ ⟹ lim = 0 < − lim = +∞ lim = −∞ ⟹ ∄ lim

→ → → → → →

1 > 0

lim √ = 0 = 0

→ ∄ < 0

1 > 0

Dimostriamo :

lim &radi