Appunti Analisi matematica 1

Definizione Funzione Suriettiva

f: A → B

  ∃b

  ∀b ∈ B

    ∃a ∈ A

      t. c

  f(a)

 ∋ f

(x) non è suriettiva

perché preso y∉co

dom. Risulta

  ∈ f(a)

 tale che    ∉

 x = y

Definizione Funzione Iniettiva

f: A → B

 sè assegna ad elementi diversi

          due differenti

del dominio              elementi

  F(a)

  x ∈ A

       tale che

 x ≠ y

 allora

 F(x) ≠ F(y)

(R(x)= P(x), no iniettiva)

Definizione Funzione Biunivoca

Funzioni sia iniettiva che suriettiva

R(x) = x+1

Definizione Composizione

f: A → B

 g     B → C

composizione tra F&G

dominioG = codominio di F

   A → C

            F(a), 

   gof(a) =

      gf(a) ∈ B

fog ≠ gof

1) P(1)

• Σ_k=0¹ = 1(1+1)/2 = 2/2 = 1

2) P(m) vera => P(m+1) vera

Assumiamo

• Σ_k=0^m = m(m+1)/2 {P(m)}

8 Vado a dimostrare

• Σ_k=0^m+1 = (m+1)(m+2)/2 {P(m+1)}

=> Σ_k=0^m (k)(m + 1) =

• m(m+1)/2 + (m+1) =

• (m+1)(m+2)/2 m Σ_k=0^k = m(m+1)/2

1 8 2 Sono vere per principio di induzione ∀m ≥ 1

= a^m+1 + ∑_k=1^m (^m C_k)a^m-k+1 b^k-1 k + ∑_k=1^m (^m C_k) a^m-(k-1) b^k + b^m+1 =

= a^m+1 + ∑_k=1^m (^m C_k)^m C_k) a^m-k+1 b + b^m+1 =

= a^m+1 + m ∑_k=1 (^m+1 C_k) a^m+1-k b^k + b^m+1 =

= ∑_k=0^m+1 (^m+1 C_k) a^m+1-k b^k

↱ -> effettuato una sostituzione nella sommatoria

∑_k=0 k = 0,1,2...m

∑_k=1^m+1 (x-1) = 0+1,2...(m+1)

= ∑_k=0^m-1 (^m C_k) a^m-k b^k+1 = ξ = x+1 ⇒ k = ξ-1

= ∑_k=1³ (³ C_3-1) a^m-(k-1) b^k-1 = ∑_k=1^m (^m C_k-1) a^m-(k-1) k b

Fissato ε>0 qualsiasi: (∀ ε>0)

V n -> (

• |L₁ - L₂| < 2ε
• |L₁ - L₂| ≥ |L₁ - L₂| / 2

Teorema Convergenza -> Limitata

(aₙ)ₙ∈ℕ₀

Si dice limitata se

∃ R > 0 t.c. |aₙ| ≤ R ∀ n∈ℕ₀

Dato (aₙ)ₙ∈ℕ₀ , se la successione è convergente (

lim_n→∞ aₙ = L ∈ ℝ), allora tale successione è limitata.

Però non vale il viceversa (convergente ≠ limitata)

Basta creare un controesempio

(-1)ⁿ_m≥1 è limitata ma non convergente

Quindi:

lim_m→∞ c_m = L

Teorema Carabinieri solo (I)

Sia ∑a_n con n≥n₀, ∑b_n con n≥n₀

E suppongo che ∃ k ≥ n₀ t.c. a_m ≤ b_m ∀m≥k

E che lim_m→∞ a_m = +∞

Allora lim_m→∞ b_m = +∞

Teorema Carabinieri solo (II)

Siano ∑a_n con n≥n₀, ∑b_n con n≥n₀

Supponiamo ∃ k ≥ n₀ t.c. a_m ≤ b_m ∀m≥k

E supponiamo che lim_m→∞ b_m = -∞

Allora lim_m→∞ a_m = -∞

Dimostrazione

Cas_S Monotona Crescente

Supponendo _∃ε_∈ a_m m _∈ o _∈ finito

Supponendo L = sup_∃ a_m m _∈ o _∈ B

A = { a_m | m _∈ ω }

L = sup A

Ricordando

_∀ m _∈ ω

_∀ ε > 0 &thereexist; n _∈ N N _∈ ℕ t.c. L - ε

_∃ a ∈ A t.c. L - ε < a

Tr.

lim_m→ω a_m=L

Fisso ε > 0

Da &thereexist; N ∈ ℕ, N ⊂ N₀

ε > 0, L - ε

L = ε ∧ m ≤ L

m &geqn; N

ε < ε

L = sup A

È vera per la

di sviluppo

Bernoulli

\( \forall x > 1 \)

\((1+x)^m \geq 1 + mx\)

x = -\(\frac{1}{m^2}\)

\(\frac{1}{m^2}\)

la sostituendo nella

disuguaglianza equazione con la risultata

\(1 + \frac{1}{m} \) ^m+1

Bernoulli

\( (1 + \frac{1}{m})^m = \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} \frac{1}{m^k} = \frac{m!}{k!(m-k)!} \frac{1}{m^k} \)

\( 0 \leq \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \)

\( 0 \leq 2 + \sum_{k=2}^{m} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}) \)

\(\text{Serie telescopica (rimane solo primo ed ultimo termine)}\)

\( = 2 + (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{m-1} - \frac{1}{m})\)

\( 0 \leq 2 + 1 - \frac{1}{m} = 3 - \frac{1}{m} < 3\) ³

\( \Theta \mathrel{\widehat{=}} \sum_{m}^{\infty} \text{converge} \)