Appunti di Analisi matematica 2 (seconda parte)

Curve piane

x² + y² = 1 perché x² + y² = 1 equazione cartesiana di SC è un altro modo per descrivere la circonferenza in modo analitico e dinamico.

Descriviamo in cui i punti non sono tutti uguali ma vengono attraversati uno alla volta da un parametro, solitamente il tempo, lasciando una traccia. Si possono scrivere le coordinate in funzione di t:

• x = cos(t)
• y = sin(t)

Al variare di t nell’intervallo [0, 2π], il punto (cos(t), sin(t)) si muove su S e la percorre interamente. S = { (cos(t), sin(t)) | t ∈ [0, 2π] }, in questo modo si descrive una curva parametrica.

Definizione di curva parametrica nel piano

Una curva parametrica piana è una funzione γ: I → ℝ², dove I è un intervallo, I ∈ ℝ, (spazio dei parametri).

γ^t(t): (x(t), y(t)) γ: t → (x(t), y(t)). Si chiama supporto della curva l’insieme S_γ = { (x(t), y(t)) | t ∈ I } ∈ ℝ².

Esempio

γ: [0, 2π] → ℝ² γ(t) = (cos(t), sin(t)). Il supporto di γ è la circonferenza centrata nell’origine di raggio 1: S_γ = "si parametrizza" S_γ.

1. γ: ℝ → ℝ² γ(t) = (t, t) è una curva parametrica.

S_γ = ? S_γ = { (x, y) ∈ ℝ² | y = 2x }

• t = 0, γ¹(0) = (0,0)
• t = 1, γ¹(1) = (1,2)
• t = -1, γ¹(-1) = (-1,-2)

Curve piane

x² + y² = 1 perché x² + y² = 1 equazione cartesiana di SC è un altro modo per descrivere la circonferenza in modo analitico e dinamico.

Descrizione in cui i punti non sono tutti uguali: ma vengono attraversati uno alla volta da un parametro, solitamente il tempo, lasciando una traccia.

Si possono scrivere le coordinate in funzione di t:

• x = cos(t)
• y = sin(t)

Al variare di t nell'intervallo [0, 2π] il punto (cos(t), sin(t)) si muove su S e lo percorre interamente. S = { (cos(t), sin(t)) | t ∈ [0, 2π] }, in questo modo si descrive una curva parametrica.

Definizione di curva parametrica nel piano

Una curva parametrica piana è una funzione I intervallo, I ⊂ R, (spazio dei parametri). γ¹(t): (x(t), y(t)) γ : t → (x(t), y(t)).

Si chiama supporto della curva l'insieme S_γ = { (x(t), y(t)) | t ∈ I } ∈ R²

Esempio

γ : [0, 2π] → R² γ(t) = (cos(t), sin(t)). Il supporto di γ è la circonferenza centrata nell'origine di raggio 1: S_γ = S"parametrizzo" S_γ.

1. γ : R → R² γ(t) = (t, t) è una curva parametrica.

S_γ = ? S_γ = { (x, y) ∈ R² | y = 2x }

• t: 0, γ(0) : (0, 0)
• t: 1, γ(1) : (1, 1)
• t: -1, γ(-1) : (-1, -1)

Equazione cartesiana della circonferenza

(x_o, y_o) ∈ ℝ², R > 0. Equazione cartesiana della circonferenza: (x - x_o)² + (y - y_o)² = R². x² + y² = r² → è centrata nell'origine.

γ(t) = (x_o + R cos(t), y_o + R sin(t)) t ∈ [0, 2π] è una curva parametrica. Ha come supporto la circonferenza centrata in (x_o, y_o) di raggio R: S = { (x, y) | (x-x_o)² + (y-y_o)² = R² } ⊂ ℝ²

Ellisse

x²/a² + y²/b² = 1 Se a = b diventa l'equazione di una circonferenza a > 0 b > 0.

x(t) = a ⋅ cos(t) y(t) = b ⋅ sin(t) x'(t), a² cos²(t) ⇒ x'²(t)/a² + y'²(t)/b² = cos²(t) + sin²(t) = 1.

Parametrizzazione di un'ellisse generica (centrata in c.a&d) Dati a, b > 0, la curva parametrica γ:[0, 2π] → ℝ² definita da γ(t): (a ⋅ cos(t), b ⋅ sin(t)) Ha come supporto l'ellisse di equazione cartesiana: x²/a² + y²/b² = 1.

In generale w/≠t. w è legato a t ma non sempre coincidono. Un modo per visualizzare: la funzione γ va da I in ℝ² e a t associa γ(t) che è un punto del piano.