Appunti di Analisi matematica 2 (seconda parte)

Curve Piane

Perché ^x2 + ^y2 = 1

equazione cartesiana di S

C'è un altro modo per descrivere la circonferenza in modo analitico e dinamico.

Descriviamo in cui i punti non sono tutti uguali: ma vengono attraversati uno alla volta da un parametro, solitamente il tempo, lasciando una traccia.

Si possono scrivere le coordinate in funzione di t:

x = cost

y = sint

Al variare di t nell'intervallo [0, 2π] il punto (cost, sint) si muove su S e lo percorre interamente.

S = { cost, sint } e t ∈ [0, 2π] In questo modo si descrive una curva parametrica.

Definizione di curva parametrica nel piano

Una curva parametrica piana è una funzione ^{γ : I3 _{γ(sotto) I ≠ vuoto, l'intervallo parametrico}}

γ(t) = (x(t), y(t))

γ: I → ^{l(x(t), y(t))}

Si chiama sostegno della curva l'insieme

S_F = { (x(t), y(t)) | t ∈ I } ⊂ ℝ²

Esempio:

β : [0, 2π] → ℝ²

γ(t) = (cost, sint)

Il supporto di β è circonferenza centrata nell’origine di raggio 1

S_β = ↑ "parametrizzazione" _{S0 = ↑}

γ : ℝ → ℝ

γ(t) = (t, t²) è una curva parametrica,

S_F = ↓

S_F = { (x, x²) ∈ ℝ² | y = x² }

t = 0, γ(0) = (0, 0)

t = 1, γ(1) = (1, 1)

t = -1, γ(-1) = (-1, 1)

3)

(x₀,y₀) ∈ ℝ², R > 0equazione cartesiana della circonferenza:(x−x₀)² + (y−y₀)² = R²

(x,y) ∈ S ⇔ { (x−x₀)² + (y−y₀)² = R} (x−x₀)² + (y−y₀)² = R²}

x(t) = x₀ + Rcos(t)y(t) = y₀ + Rsin(t)t ∈ [0,2π]

ϒ^r(t) = (x₀ + Rcos(t), y₀ + Rsin(t) t ∈ [0,2π] è una curva parametrica.Ha come supporto la circonferenza centrata in (x₀,y₀) di raggio R: S = {(x,y) | (x−x₀)² + (y−y₀)² = R²}_⊂ ℝ²

4 Ellisse

x² / a² + y² / b² = 1

Se a = b diventa l'equazione di una circonferenza.a > 0, b > 0

x(t) = a ∙ cos(t)y(t) = b ∙ sin(t)

x¹(t), a²cos²(t)y¹(t), b²sin²(t)

x¹(t) / a² + y¹(t) / b² = cos²(t) + sin²(t) = 1

Parametrizzazione di un'ellisse generica (centrata in (a,0))Dati: a, b > 0, la curva parametrica ϒ : [0,2π] → ℝ² definita da ϒ (t) : (a. cos(t), bsin(t))ha come supporto l'ellisse di equazione cartesiana:

x² / a² + y² / b² = 1

In generale w.r.t. w è legata a t ma non sempre coincidono.

Un modo per visualizzare: la funzione ϒ^r va da I in ℝ² e a t assegna ϒ^r(t) che è un punto del piano.Se si mettono insieme tutti i punti che sono immagine tramite ϒ del valore della curva crea meglio il supporto della curva.

ESEMPIO LUNGHEZZA DI UNA CURVA: ELLISSE

y = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b]

L(γ) = ∫_a^b |γ'(t)| dt = ∫_a^b √{(x'(t))² + (y'(t))²} dt

Lunghezza di un'ellisse

1. S = { (x, y) ∈ ℝ² | ^x2/_a² + ^y2/_b² = 1 }

Parameterize S:

y : [0, 2π] → ℝ²

y(t) = ( a cos(t), b sin(t) )

lunghezza dei semiassi

γ'(t) = (-a sin(t), b cos(t))

L(γ) = ∫₀^2π √{a² sin²(t) + b² cos²(t)} dt

= ∫₀^2π √{a² - (a² - b²) sin²(t)} dt

In generale gli integrali della forma ∫ ^{a sin2(t) + b cos2(t)} dt con a e b > 0, e a ≠ b, non hanno primitive esprimibili in forma elementare.

Prendono il nome di integrali ellittici.

E = { (x, y) ∈ ℝ² | ^x2/_a² + ^y2/_b² ≤ 1 }, a, b > 0 stiamo parlando dell’area dell’ellisse

Area(E) = π a b

( se a = b : R area(E) = π²)

In sostanza l’area dell’ellisse si può calcolare ma la lunghezza no.

ESEMPIO

S = { (x, y) | 0 < x < 4, y = x³ }

y (t) = (t, t³), t ∈ [0, 4] ^{S = γ}

(S = grafico di g(x) = x³)

γ'(t) = (1, 3t²)

L(γ) = ∫₀⁴ √{1+(3t²)²} dt = ∫₀⁴ √{1+9t⁴} dt

= ∫₀⁴ √{x^'(t)² + y^'(t)²} dt

• Baricentro di una curva

per trovare le coordinate del baricentro si fa la media pesata delle coordinate dei punti:

x_B = ¹/_M Σ_i=1ⁿ x_i · m_i

y_B = ¹/_M Σ_i=1ⁿ y_i · m_i

M = m₁ + m₂ + m₃ + m_n

S = filo inestendibile con densità di massa costante e unitaria

Baricentro di S

• parametrizzo S mediante una curva parametrica γ

γ: [a,b] → ℝ² S_[a,b] → γ(t) = (x(t), y(t)) (suppongo γ ∈ C¹)

Calcolo L_γ = ∫_a^b | γ'(t)| dt = è massa totale di S poiché abbiamo detto che la densità di massa è costante e unitaria

Il baricentro di S è il punto B = (x_B, y_B), le cui coordinate sono date dalle formule:

x_B = ¹/_Lγ ∫_a^b x(t) y'(t) dt

y_B = ¹/_Lγ ∫_a^b y(t) y'(t) dt

OSS: Il baricentro non dipende dalla parametrizzazione

ESEMPIO

S = {(x,y) ∈ ℝ² | x² + y² = 1, y ≥ 0} Determinare il baricentro di S

Per motivi di simmetria x_B = 0

Inoltre y ≥ 0 e y ≤ 1

L_γ = π (mezzo cerchio, raggio = 1)

γ(t) = (cos(t), sin(t)) t ∈ [0,π]

γ'(t) = (-sin(t), cos(t))

∫₀^π sin(t) dt = [-cos(t)]₀^π = 1 + 1 = 2

y_B = ²/_π × ¹/₂ = 2/π