Appunti Analisi 2 - parte 4

AL

Irral f 12

21 su

integrabile

ma 0 U

=

, , ((f(x

(2(x ((f(x

dxdy y)axdy y)axdy

y) +

= ,

, , R2

21

2 u22

,

⑤ PROPRIETA ANNULLAMENTO

DI

n()f(x

( M y) dxdy

=

0 0

= =

,

2

FUNZIONI

PROPRIETÀ PER CONTINUE

INTEGRANDE

ER f Continua

limitata limitata

1-pR

misurabile

↓ e : e

/210 f(x

A aperto

Se r e y) 20

e , ,

) f(x

f(x dxdy

y) h

in

y)

0 0

= =

1 ,

=

,

2 XR(Raperta

B(x

Se fintorno D r) per

= ,

S

Si fix fo

ha d

o e

in

e) =

,

se Esiste (xo tale

3) che

yo de

e è Connesso e

. ,

(f(xy)

= f

MEDIA dif dxdy

INTEGRALE l

=

Infatti f

Weiestrass M minimo

ha valore

massimo

valore in e.

per m

un e un

Quindi M

f(x che

y) ve segue

ma su me

,

Smaxay))f(x y)axdy[f Divido Il

Maxay per

,

r d

(1) M 12

m .

. Il teorera

m M

f(xy]ddy

# Valori ci assian

Intermedi

del e

l'esistenza (x0

di Tesi

yol da

come

, .

METODO PER SEMPLICI

RIDUZIONE DOMINI

DI Voglio volume

⑭ il

calcolare

TEOREMA

n IR continua

f :

12 X-semplice h2(y)]

((x h

2 yt[cd]

y) (y) =

: x

=

= ,

, ,

⑭ /

Allora gi sex)

S)2(x 2) dxde =

,

R formula

PER DOMINI y-Semplici vale analoga

I una

((x y)cR2 ge(x)}

b] g

xeta

2 (x) y

: =

=

= ,

, ,

gl

16 4)dy)dx

[Sf(xy) f(x

exdy = ,

ESEMPIO Gxy exy

A x

i =

1 = 0242x]

((x 27

x[0

+2

y)

- =

= =

it , . ,

21ddy)

↓ 2[] 3

= =

Scrivere y-semplice

dominio

il come

Dominio

ara 1]

G(x 2]

[0

y)tR

- x =

y

ye =

:

= , , ,

.

A X

y =

1 = -d

4 - a

pene

il finita

unione

#OTA = dominio

1

Se 2k 11 semplice

regolare

dominio

è

e ovvero con

un , -* bordo

il

solo

due lungo

intersecano ha

dua

gli a si

si

e au a

se

·

ESEMPIO Sin(yz)

f(x y) =

, 1}

((x : 2]

x[0

- y)tR , * zy =

= , , Asse Base e

di

D y

((x exy2]x

ER2 ,

ye[0

- 4) Dipendente

e

2]

= o

,

,

sinydy)dx

=

Sf(xyl Mi

edy Risul Compact e

=

sins[yydy Eless

=

"Simydx)dy =

cosys

di

ESEMPIO A PARTE

LA SUPERIORE :

y2

x2 4

+ =

I

Rappresen

S)4 a

dxdy

X2 y2

- - FUNZIONE non

[x4} negativo Semisfero 2]- zy- *]

{(x 2:

Sarà xE2

y)eR

volume seripiano

sul ,

,

della

semisfera la positive

con .

2

Raggio

di 2.

↓

SJY"dxdy Cd retà Sfera

= ↳D volume

2 ESEMPIO A

f

+ dxdy (x e

Sery) ad

Sey)

+

= 1 1

+

2]

[112]x[ 2

- ,

-ad + L

-

Senydydx =

Cambiamenti di variabili (n 2)

=

RICORDA funzioni

Per integrati di

di vale

variabile

: gli una

((t))p'(t)dt

(f(xdx d(t)

X =

= $ b]

([a [a

b]) - ,

& ,

a)

Per ?

che

integrali doppi dire

gli possiamo

=

(S8ddy Tu dadi

L

T * A

⑳r *

& R

f(x y)

11 ,

v)) v)

y(u

v)

((u

T(a f(x(u

v) v) y(a

= ,

,

,

, - ,

, ,

D

Sia (x T(u

DD

T v)

y)

: - =

, ,

E v)ED

(u ,

# dr)

h

glutda du

(u

Harl u

· + +

, ,

,

Gi

u

ri

a

& 41 rel

1glu ,

,

(u dr)

v + i

, du)

(u

due

du v +

+ , v))

(g(u h(u

v) v)

T(u

=

, ,

, ,

4x

D

i F

v)

(g h(u

(r v) ,

, ,

"base"

Il dell'immagine di vettore

il

vettore quadrato partenza

del è

v)) (g(u

v) y)

v)

=: h(u

h(u

(glu du

du +

+ -

, ,

, ,

, ,

(g(u v)

v) du) (g(u hlu

h(u v)

w du v

+ + - ,

,

, ,

, ,

In tali

approssimazione vettori

prima sono

I , d)

duhdu) , DERIVATE DIREZIONA

du

·

In generale (det(a

= (a b) A

= =

,

-

L'area parallelogrammo infinitesimo A

del di

immagine legato al

Sarà

determinante della Jacobiana

matrice (det(guhr) I

I Quindi

G axdy

I dud

d e

si avrà

du =

↳ dr

g

OREM4 F =

D'AD

f (a

D-DR

regolare

dominio continua (x v)

y)

con

, e : e

: ,

,

E g(u v)

x TRASFORMAZIONE

= DI

, v) COORDINATE

g(u

y = ,

Allora abbiamo

Sfixy) dxdy Du

I det

figu hlu e

dud

, )

1 E

gu

Du v

can =

,

Esempio Coordinate polari )

&

dxdsdet(

E Plast e

da

X = psino

y = /detCassin fonte si

dedu

= =

↓ (costitsin) di

de

= da di

↓ = psind

f(pcos

dxdy di

f(x e) ,

, P

& A 12

+

ESEMPIO CALCOLA INTEGRALE

& RISCRIVIAMO

da a D

COORDINATE

IN

POLARI # 24283

i]]

2]e

Deto 2

Seto x

5) 4

5 (p

D 4

D x20

=

+

= ,

= ,

. ,

, 2

/2

sapdoostsinds)di cossi

=

sin

1

=T R

- S

Esempio Radiale

DOMINIO Radiale

funzione

+

e-(x y2)

)) +

Fr dady Raccivor

D Cerchio

= =

ARBINATE POLARI

PASSIAMO dady pos

=

Far)d 2 A

=

ELLisso

Esempio Volume de

I

SEMIAssi d b C

A ,

,

= *

↑

+

(

1-

z =

· &

g 13

2 + f(xy)

: +

-

D 1

y)

(x

= =

, Coordinate ELLITTICHE

c)(f(x

V y)dxdy

= , E dPCost

X = sing

be

y =

/aucobsinaptabine

151

bp dodi

dxdy a =

= peto2]]

{(p 2]

0) Jeto

D' ab

=

:

= ,

,

,

c) 1-plabelde) di

v = 4 cab)513]

cabe

de

4

= =

GENERALIZZATO

INTEGRALE DOPPIO 2)

2

(x

(e y

+

-

ESEMPIO GAUSSIANA

DELLA

INTEGRALE .

))e-(x I R2

definizione

dxdy

I ·

= Maggio R

e-RY

(x 34 dxdy

Se (1

+

lim lim

- i π

= =

-

R

R + A

-D

+

D

- <R2

2

x y

+

Possiamo l'integrale

caledare generalizzato

INOTA / - ?

-

5 d+

e =

= eddy)

Je

e dxdy

J)

I = = R2

Sett

5

5 I ovvero =

=

ESEMPIO

Ficedxdy Con 230 -

il

Definiamo limite

quindi

+SS Citys dxdy #

= /a

y

x

mi 1

+ &

Poniamo exdy pdido

polari

coordinate con

a =

Fredd Puo

VOLUME NON

UN

S Dot

(1042-9) M -

-pot NEGATIVO

ESSERE

sexc2 D

logre 2

2 sex

- =

= -M se2 D

D +

CESLECOLO TRIPLI

INTEGRALI

S Tim ady

↑ Converso

xhynaxdy =

(

x y2

+

REGOLA la

studiare integrale

Si generalizzato

doppio andiz

di

può convergenza un

la iterato

dell'integrale la

che integrando

funzione

patto

convergenza a

nell'insieme

abbia costante integrazione

di

segno .

ESEMPIO <G(x)

*

↓ se

dxdy ,

e o

o

J

(e-dx/dy

& =

= se ato

a dy ((x ysa]

de il

considerassi Domunio y) 1

:

= , ,

=

Se * dxdy F

A TRIPLI

CALLCOLLO INTERRAALDI FILI

PER

INTEGRAZIONI

· ↓ INTEGRAZIONE

DOMINIO DI

=

((x ycD]

gz(x y)

n z) (x y) (x

= y -

z

: g =

, , ,

,

, ,

,

regolare

dominio

D nel

Con piano Xy

R continua

D -

:

e gigz

& f : R integrabile

continua e

gef(xx

( z)dz)

5) ()

dxdydz dxd

f(x 7)

4 =

, , ,

R

ESEMPIO z

> z)

(x

- :

Y ,

, i

A f(x -

z) z

X

y =

, , (

tra

& edz)axd

/S

S) xzexdyda =

2 x[z

A (Rxy2)

/S Polari

Coordinate

dady

= = =

Seto 2n]

,

y2CR

x2 R]

BETo

+ ,

↓

CERCHIO

RAGGIO R post-padossar ))

g Rad

.

[R

= ·

STRATI

PER

INTEGRAZIONE

f ze[h

((x hz] r(z)]

2 z) (x y)

: =

= y , ,

, ,

,

(2) dominio regolare piano

è del

↓

Allora integrabile su R

continua

f è

se e

= I

Sixy dxdydz fxy taxl

,) ,

ESEMPIO

G(it) 02

- = , ()))

c (dx

(xy2)dxdydz =

R

D et 2

Coordinate sapd = 424

POLAri

a

I

IN 3

PER

FORMULA CAMBIAMENTI DIMENSIONE

VARIABILI

I DI

DCR3 D'

Sia

f R integrabile

regolare DD

T

D continua

-

: e : -

, .

diffromalismo globale con

S X(u w)

X v

= , , ED

w)

(n

y(a v

w)

y v

= ,

,

, ,

z(u

z w)

= v ,

,

Allora ())

(S)f(xy w))) DT1

det

f(x(u

z1dxdydz dudvou

z)v

w)

vin) y(u v

v

= , ,

, ,

,

, , ,

D'

dat/DT) dududa

dudydz

ovvero =

VETTORIALI

CAMPI

Un che associa

descritto funzione

può come

essere

campo una

dello vettore

ad ogni spazio

punto un

A A

F(P) y

·

p D &

fiaR"

Di Bar

f I XR

: - CAMPO STAZIONARIO

temporale

variabile

Isenze

R3

CAMPO STAZIONARIO IN

DR3

E R3 -

# z) z)

Fz(x

Fz(x z)m F2(x

(x z)

+ y

= + y

y y ,

, , ,

, ,

,

,

y

Eppure ( z)

F2(x

F F3(x

z)

z) (x z) y

y y

= , ,

, , , , ,

,

, ,

2) NEE CAMPO

Di Definizione

· Fact(r)

-ERPR

F