Appunti Analisi 2- parte 3

UNA

I le .

regolariti

condizioni di violate

punti ci vengono

in

ESEMPIO SFERA R

RAGGIO

Di Rosy)

(Rsingcost

d)

↑ (y G

Rsimy Sin

= ,

, ,

↑ matrice Jacobiana

ha I

= I e

-Ringsn

Rosploso

--

0)

14

De Massysn se

=

, Rsing O

-

Rinsinu

det/Rosy Rsinyc

Rcapsicoso se

+ si

= (

sind

Resingsing

= +

I

Ringcost)

/Rcosysin Resinty

se

det coso

+

=

det/Rcasqcoso -Ringsing) Rsindy sind

=

Rsing

- ho cambia

perché quindi

cancellato pari

riga segno

una

I Det

della

determinante dei matrice

minori 2x2 sono ;

Rsinpost

Rasimpcosy Rising cas

,

,

Se sicuramente dei

singto è

minori diverso da

· Zero

uno

Ovvero

se tutt singolari

mulli poli

sing=o punti

due

abbiamo

sono . per

nei

· la .

superficie parametrizzata

VETTORE NORMALE =

Fax Fux

; ↓

E e

normale alla superficie

VETTORE NORMALE .

Esempio dal precedente esempio

. cond

/ Resingcosy Resiny

R'sintysind

=

= ,

, R single

Resinsind

Resingey ,

, Sin U "yeaso

R "sin

R"sin"

R"sin'yeosey + + sin'peat sint

Ra

Rasinsind

Risingeary , (sitea)

,

= Risin" (so

Cos

R"sin'yeosey + + =

sing

PIANO SUPERFICIE

TANGENTE ALLA

An Portogonale dall'equazione

Piano n dato

è

per e

x)

(x . 0

=

-

e punto

Se tangente

e sul alla

piano

punto superficia nel

è un

(x vol)

con (Mo zlero

vol y(Mo soddisfar

vo) allora

= ,

, , ,

,

) (Fux)

( %

& ovvero

o

.

- =

(*

det (CARTESINNE)

SUPERFICI GRAFICO

9)AcR f

(X differenziabile

f(x y)

2 = ,

, Semin

X(u v) M

=

,

Cur (n v) A

>

y

= = -

,

f(u v)

z(m v) =

, ,

·

&

det

= 1)

-fulmarol = 2

-fulmavo

= ,

, +

Esempio PARABOlde ELLITTICO

f(x x2 yz

y) +

=

, -2)

(n (e

& n2

v) v +

=

, , , 1)

(

m 24

2x -

-

= , ,

4y2

4x2

1

+ +

Esempio Superfici ROTAZIONE

DI CIRCONFERENZA di

A Raggio R

(

ZA X(t)

E X E

= Reass

& E(t) Rsime

2

aveva = D

ICIR

te RAGGIO

> t)

(x

X ,

curva

rotando

La all'asse

la

superficie attorno

ottenuto ha

e una

,

parametrizzazione data da

E =

b)

x(t x(t) cosi RAGGIO

=

, .

i)

To

tel de

(t sind

(t)

d) ,

x

y =

, ,

(t E(t)

y)

2 =

,

ESEMPIO CURVA

PARAMETRIZZAZIONE

① {" Rsing

SFERA = i)

(0

y

u -c

2 A . ,

z reosy

r =

& . TRIZZAZIONE

PARAME SFERA 25]

[0

ge(a)

(Rsing) Ja

& casa

X = ,

,

(Rsing) sind

= reosy

L

② Parametrizzazione del Toro

Toro rosy)

5) (R casi

(p

2 +

x =

DZ A , (R

c)

y(y sinc

reosq)

+

=

,

0

(y rsing

= =

, Io

[0 Se 2it)

2)

con y e

-y ,

, ,

~ *

: ~

Mo

E gli a

~

③ CoNo te

:St R

mx

& = Se questa formerà

2 inizia girare

curva un cono

a

Se teR 2)

Jeto ,

0)

(t mt

2 =

,

Q CILINDRO

E otterrà cilindro

Si CIIndro

un

j E

S teR teR

x(t) It M Xocost

X

Xo =

=

V ,

e del

t

E(t) sint

= y

=

Ottimizzazione vincolata

Problema VINCOLATO

MASSIMO MINIMO

E + (R) continuità) Determinare

f (derivabili estremi

<(

y)

y)

f(x g(x gli

con

g

; =

= ,

, le ber

f

di g(x

condizioni

sotto b

y) .

costante

con

=

,

trovare

Da :

Smax & 4)

e min

vincolo b

b - =

Geometricamente

za i

V

+

1

. ESPLICITABILE

CASO Vincolo

FACILE :

Se i di

che

(x verifica

punte glxy)

y) punte

b curva

i una

sono

=

,

parametrizzazione

con y(t))

(x(t) t-IcR

et(t) = ,

Il funzione

trovare i minimi della

problema massimi

riduce

Si e

au

f( (t)) y(t))

f(x(t)

(t)

& =

= , .

Esempio CASO FAGLe .

5y2

x x (elisse)

f(x y) 4y2

y) 1xy g(x 4

+ 0

+

- =

= = =

-

, ,

Il dalla

esplicitabile rappresentato

vincolo è

ed parametrizzazione

è

E ai)

teTy

X(t) 2eost

= ,

y(t) sint

=

Il teorema il

Neierstrass che

di dif

assicura

ci sulla

min curva

max e

Consideriamo la funzione

esistano

. cost

) Ssint

y(t))

f(x(t)

(t) Sintcost

4 +

& =

= -

,

Studiamo *

la $(t) Notiamo -cost-

che H) =

.

*

PERCHE cos2t-sin't

? REGOLE (sint cost

SinRt)

DUPLICAZIONE (2t)

DI cos

;

: = =

(t)

6) (2t) cosRt)

sin -

=

PUNTI 6) (t) Sin(t) -cos12t)

CRITIC ·

0

= =

,

ovvero

I Se

punti massimo

di

& minimo e

di

punti

Metodo moltiplicatori di Lagrange

Scopo Ottenere (sulle derivate)

del

condizione ° ORDINE

1

: necessaria per

una

l'Ottimalità

. f DR

A -

:

A Ci derivata f

aspettiamo la

che direzionale di

lungo sia .

mulla

Dao)f(x ) .

) *

*,

Vf(x

*, * 0

y

y =

= ortogonali

devano essere =

quindi

)

Uf(x *

Ovvero normale

*, il vettore al X

vincolo paralleli

sono

y e g

e =

MOLTIPLICATORI

TEOREMA (1(R) )

(x

Siamo *, * vincolato

fig e estremo il vincolo

di

punto sotto

e y )

)

* *

*,

R

be (x il

Se Ug(x +

vincolo 0)

(0

*, regolare

e

(x b

y) avvero

can per

& y y

= ,

, ,

.

* R

esiste tale che

allora )

* *

*,

& ) Vg)x

*

*, x

f(x y

y =

P )

glx *

) *,

* b

del che

vincolato

problema ha

estremo si

I sappiamo

y = e

) 0(g

* )

*, 0

Xg(x (0

*,

b)(x * =

y

y = ,

- )

*, *

Possiamo (x

applicare intorno il

Dini

del che

dedurre

il di

Teorema in

per y

un

(che in

di effette

vincolo y) b regolare

definisce è

glx una

aveo cuva

curva

un

=

,

grafica . e

Sir x

XXt) y(t) tale

parametrizzazione x(0

di cu con

sua

y una =

=

, tagente

d)

V (x y è

Nota che 10)

=

* ,

*

y

(x D

* alla .

# 10

g(xyl b curva e 0

= ,

Consideriamo la

) f

* restrizione

*,

(x

(t) di

(x

+(0)

y(t))

(t) y

; =

: , f(t) che

alla sia

imponiamo

cunva O

e

punto critico .

un

y(t)) y(t)) y'(t)

x(t)

fx(x(t)

y(t)) y'(t) fy(x(t)

p(t) f(x(t) D

= +

= -

= . ,

,

, )((a)

(t)

In ) *

y'(0) fy(x

fx(x *,

*

t *, 0

+

0 y

y =

=

= * y'(d)

+

) .

*, (x(0)

Df(x * -

0

y = = , .

)

Ricordando *, *

Vg(x in

è tangente che

ortogonale concludiamo i

che vettore

al

y ) * tale

) *, *

Df(x Quindi che

-R

X

vettori *, Vg(x

* paralleli esiste

Sono

y

y e . )

* **

) *

Vf(x

*, *,

Ug(x

y = y

PUNTO

Def CRITICO VINCOLATO Ti

)

* la tangente

*, tale che derivata lungo

la

(x dif al

punto

Un y

vincolo .

sia mulla Lagrangiana L(x

Se

Nota x)

la

definiamo y

, ,

f x[g(x

(x b]

x) f(x y) y)

=

y - -

,

, ,

, CR

)

**

Se )

*, (

* *,

tale **,

l'estremo 7 xxeR

vincolato che

e allora

(x e

y

y .

L

di

PUNTO LIBERO

CRITICO

Infatt )

*

*,

01 *, 10 0)

(x x 0

=

y , ,

x[g(x

2(x b]

x) f(x y)

y) -

y = - ,

,

,

,

S fx(x -

= y)

y) =

gx(x ,

, Xg

8f

- =

=Xgy(x

= fe(x y)

y) =

, ,

b)

((xy) *

= VINCOLO

=

-

ESEMPIO x

f(x y2

vimedo g(x y)

y) 1 0

xy +

= =

xy = - -

,

, ,

Sul singolari

punti

vincolo ci sono

non

(x 1)

2 X(x2

x) y2

xy

xy

= +

y -

- -

, , f =

S ·

2x y)

x(2x O

y 0

= = =

-

2y 4) 2y)

+ 0

x

x - =

= = · 0

g

=

&

2x x2 y2 1 0

+

xy =

-

= MOLTIPLICATORE

INTERPRETAZIONE DEL f(x

Sia bel

y)

I b

<R

(b1 b2) y)

g(x can

=

= , ,

,

,

Il kan .

variabile)

della vincolo b

problema b

ottimizzazione

vincolato di g(x y)

f sul =

,

Supponiamo funzione

le sia

soluzioni

diTrovare b

di

in e

f(x * (b))

* MASSIMO

(b)

M(b) Di g

vincolato Su

y

= , y)

g(x b

=

,

*

Si (b)

(b)

M

ha X

=

Scriviamo tesi

la problema

del Moltiplicatori

vinedato dei

E * (b)gx(x *

* (b)

(b))

fx(x x

*

* (b) Vbel

(b) y y

=

, ,

*

(b))

* (b) (b) *

*

gy(x

*

fy(x (b)

X

(b) y y

=

, ,

(x

* *

(b)

* b

(b))

g =

y

, l'espressione

o vincolo

del

Deriviamo parametro

al

rispetto (b))

*

* (b) = b

& (g(x 1

y =

, (b))

(b))

* *

* *

(b) *

gx(x (b)

gy(x

+

y y

, ,

* (b)

Moltiplichiamo *

per (b))

* * (b))

(b)

(b)gx(x *