Appunti Analisi 1

Definizione Funzione Suriattiva

f: A→B ⇔ ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A tale che

(f (a) = b) ⇔ ∀ b ∈ B esiste a ∈ A tale che

f (x) = y non è suriettiva perché preso y∈Y, x∈O

non esiste x ∈ dom tale che f(x)=y

Definizione Funzione Iniettiva

f: A→B se assegna ad elementi diversi

del dominio, elementi diversi si basa due condizioni:

∀ x, y ∈ A tali che x ≠ y allora (f (x) ≠ f (y))

R(x) = R(x) no iniettiva

Definizione Funzione Biiettiva

Funzioni sia iniettiva e sia suriettiva

R(x) = x+1

Definizione Composizione

f: A→B e g: B→C

Composizione tra f e g

g∘f: A→C

g∘f(a) = g (f (a))

f∘g ≠ g∘f

A → B

B → A

∀ a ∈ A

∀ b ∈ B

A ∪ B = S

A ∩ B = ∅

∃ a ∈ B

∃ b ∈ B

a² = 2

q² = ^m2/_l²

m² = 2m²

m = 2k

∀n, A(n)

1. P(1) ∑_k=0¹ k* = 1(1+1)/2 = 2/2 = 1

2. P(m) VRA => P(m+1) VRA

   Assumiamo ∑_k=0^m k* = m(m+1)/2 {P(m)}

   Vero a dimostrare ∑_k=0^m+1 k* = (m+1)(m+1)/2 {=> P(m+1)}

   ∑_k=0^m k*(m+1) = m(m+1)/2 + (m+1) = (m+1)(m+2)/2

   Passo induttivo Assunto vero

   ∑_k=0^m k* = (m(m+1))/2

3. Sono vero per principio di induzione ∀m≥1

= a^m+1 + Σ_k=1^m ( ^mC_k-1) a^m-k+1 b^k k + Σ_k=1^m ( ^mC_k+1) a^m-(k-1) b^k + b^m+1 =

= a^m+1 + Σ_k=1^m [ ( ^mC_k) + ( ^mC_k+1) ] a^m-k+1 b^k + b^m+1

( ^m+1C_k) → per la 3 proprietà

= a^m+1 + Σ_k=1^m ( ^m+1C_k) a^m+1-k b^k + b^m+1 =

= Σ_k=0^m+1 ( ^m+1C_k) a^m+1-k b^k

Basta una sostituzione nella sostituzione

Σ_k=0 k ; k=0,1,2, ... , m

Σ_k=1^m+1 ( ^kC₁ = a+2 , ... (m+1,a)

( ^m-1Σ_k=0) ( ^mC_k) a^m-k b^k+1 = → k=k+1 ⇒ k=k-1

= Σ_k=1³ ( ³C_k-1) a^m-(k-1) b³ = Σ_k=1^m ( ^mC_k-1) a^m-(k-1) k^b

Fissato ε > 0 qualsiasi: (∀ ε > 0)

∃n -> (

|a_n - L| < 2 ε

|a_n - L| < |a_n - L| 2

Teorema Convergenza -> Limitata

∑ a_n ∑ m ≥ n₀

Si dice limitata se

∃ R > 0   ∃ C   |a_n| ≤ R   ∀ m ≥ n₀ (Def. Succ.

Succ. Limitata)

Data   ∑ a_n ∑ m ≥ n₀, se   la   successione   è

convergente (lim_{m -> ∞}  a_n = L Є R), allora tale successione

è limitata.

Però non vale il viceversa (convergente ≠ limitata)

Basta eseguire un controesempio

∑ (-1)ⁿ ≤ m ≥ 1 è limitata ma non convergente

Quindi:

Lim_n→inf C_n = L

Teorema Carabinieri solo (I)

Sia {Σ a_n}_n≥n₀ , {Σ b_n}_n≥n₀

E suppongo che ∃ k ≥ n₀ t.c. a_n ≤ b_n ∀ n > I

E che Lim_n→inf a_n = +∞

Allora Lim_n→inf b_n = +∞

Teorema Carabinieri solo (II)

Siano {Σ a_n}_n≥n₀ , {Σ b_n}_n≥n₀

Supponiamo ∃ k > ≥ n₀ t.c. a_n ≤ b_n ∀ n > I

E supponiamo che Lim_n→inf b_n = -∞

Allora Lim_n→inf a_n = -∞

Dimostrazione Caso Somma Moltiplicativa Crescente

Sia {(a_n | n ∈ ℕ)} finito

Supponiamo L = sup {(a_n | n ≥ m₀) e L ≠ A}

A = {(a_n | n ≥ m₀)}

L = sup A

Ricordando la caratteristica del sup

1. a_n ≤ L ∀ n ≥ m₀

2. ∀ ε > 0, ∃ n ∈ ℕ tale che L - ε < a_n

3. ∃ a ∈ A tale che L - ε < a

Tr. lim_m→∞ a_m = L

Fisso ε > 0

Da ∃ ε ∈ ℕ, N ∈ ℕ, M ≥ N₀ tale che

• L - ε < a_n ≤ a_m ≤ L

è vera per la

disuguaglianza di

Bernoulli

∀ v > 1

(1 + x)^m ≥ 1 + mx

x = -¹/_m²

la sostituiamo nella

disuguaglianza e troviamo con il risultato

(¹/_m)^m

∑_k=0^m(^m/_k)¹/_m^k = m!/_k!(m-k)!m^k

0 < ¹/_k!

< ¹/_k²(k-1) = ¹/_k-1 - ¹/_k

0 < 2 + ^m∑_k=2(¹/_k-1 - ¹/_k)

= 2 + (1 - ¹/₂) + (¹/₂ - ¹/₃) + ... - (¹/_m - ¹/₂)

0 < 2 + 1 - ¹/_m - 3 - 1_{< 3}

0 < (1 + ¹/_m)^m < 3