Appunti Algebra lineare e geometria

Algebra dei Vettori e delle Matrici

• Somma tra Vettori:

^{v₁ w₁ v₁ + w₁}

^{v₂ w₂ v₂ + w₂}

^{v_n w_n v_n + w_n}

• Prodotto per uno scalare

^{v₁ kv₁}

^{v₂ kv₂}

^{v_n kv_n}

• Combinazione Lineare

Si dice che un vettore v è combinazione lineare dei vettori v₁, ..., v_d se esistono degli scalari t₁, ..., t_d ∈ K tali che

v = t₁ v₁ + t₂ v₂ + ... + t_d v_d

Cfr. scalari t₁, ..., t_j si dicono coefficienti della combinazione lineare

Esempio

v = [3, 5] è combinazione lineare dei vettori: i = [1, 0] e j = [0, 1] con i coefficienti 3 e 5:

=> v = 3 [1, 0] + 5 [0, 1] = [3·1 + 5·0, 3·0 + 5·1] = [3, 5]

• Base Canonica

Una base canonica si indica come l’insieme ordinato {e₁, e₂, ..., e_n} di Kⁿ.

I vettori e₁, e₂, ..., e_n sono i vettori colonna che hanno l’i-esimo componente = 1 e il resto nulli

e₁ = [1, 0, 0, ..., 0]

e₂ = [0, 1, 0, ..., 0]

Ogni vettore è combinazione lineare dei vettori della base canonica. Infatti:

x₁ e₁ + x₂ e₂ + ... + x_n e_n = [x₁, 0, 0, ..., 0] + [0, x₂, 0, ..., 0] + ... + [0, 0, ..., x_n] = [x₁, x₂, ..., x_n]

• Dipendenza / Indipendenza Lineare

(Verificare che i vettori sono linearmente dipendenti o no)

I vettori v₁, v₂, ..., v_n dicono linearmente dipendenti se esistono scalari non nulli a₁, a₂, ..., r_n

∃ t₁, t₂ ∈ R, t₁ non nullo, t₃ linearmente indipendenti se l’unico scalare che annulla la loro combinazione è t = 0

Matrici

Una matrice è una tabella ordinata di m righe e n colonne. La matrice si dice quindi m x n.

A = _ij

• _ij ∈ K
• (i=esimi riga e j-esimi colonna)

=> A ∈ K^m,n

Quando m=n, la matrice è quadrata.

La matrice è composta da vettori:

• [a₂₁, a₃₁, a_m1] => vettore colonna
• [a₂₁, a₂₂, a₂₃, ..., a_2n] => vettore riga

Prodotto tra Matrici

A= matrice m x nB= matrice p x q

Il prodotto tra matrici è definito Matrice m x q (numero di righe di A e n° colonne di B)

Esempio

A = [2, 4]

B = [1 2 34 5 6]

(è poi ben ridotto nella la lunghezza delle righe di A è uguale alla lunghezza delle colonne di B, le matrici erano una riga e 3 colonne

A . B = [2 . 1 + 4 . 4 , 2 . 2 + 4 . 5 , 2 . 3 + 4 . 6]AB = [18 24 30]

SISTEMI LINEARI

Detto un sistema lineare:

_a11x₁ + _a12x₂ + ... + _{a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm}

si definiscono:

A = |_{a11 a12} ... _a1n    |_{a21 a22} ... _a2n    |_{am1 am2} ... _amn

MATRIC DEI COEFFICENTI

X = |_x1  |_x2         |_xn

VETTORE COLONNA delle INCOGNITE

b = |_b1      |_b2      |_bm

VETTORE COLONNA termini noti

Dunque il sistema numerico in qui numero, utiliziamo il prodotto matrici per vettore: Ax = b

Il sistema omogeneo associato al sistema Ax = b è Ax = 0, dove lo 0 al secondo membro indica il vettore nullo.

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE

=> Le soluzioni di un sistema lineare si ottengo sommando a una soluzione particolare V_p le soluzioni del sistema omogeneo associato V₀

V = V₀ + V_p

Dato una matrice A di tipo m x n, l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0 si dice NUCLEO DELLA MATRICE (ker(A))ker(A) = {u ∈ ^U| A = 0}

Dato che A0 = 0, il vettore nulla appartiene SEMPRE al nucleo della matrice.

=> se V₀ è una soluzione particolare del sistema lineare Ax = b, allora l'insieme di tutte le soluzioni è V₀ + ker(A)

INSIEME DI GENERATORI

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Siano V₁, V₂, ..., V_n dei vettori di V. L'insieme {V₁, V₂, ..., V_n} è un insieme di GENERATORI per lo spazio V se scelti in QUALSIASI vettore v di V, allora v si scrive come COMBINAZIONE LINEARE di v₁, v₂, ..., v_n.

Esempi

1. V: R²
   • V₁ = (1;0)
   • V₂ = (1;1)
   • V₃ = (-1;1)

   v₁, v₂, v₃ GENERANO R²

   (x, y) = a₁ (1;0) + a₂ (1;1) + a₃ (-1;1)

   • a₁ + a₂ - a₃ = x
   • a₂ + a₃ = y

   k = 2   n = 3   -- > SISTEMA DIPENDENTE DA 1 PARAMETRO

   • a₃ = t {
   • a₁ + y - t = x   {   a₁ + y - 2t = x   {   a₁ = x - y + 2t
   • a₂ = y - t

   VETTORE v = (4,1)

   se a₃ = 0:

   • a₁ = 1 - 4 = 3
   • a₂ = 4

   se a₃ = 4:

   • a₁ = 4 - 1 - 2 = 1
   • a₂ = 4 - 4 = 3

   Al variare della scelta di a₃, il vettore si può scrivere in infinite combinazioni lineari. Quindi i vettori v₁ = (1;0) -- V₂ = (1;1) -- V₃ = (-1;1) GENERANO R²

2. R³
   • v₁ = (4,0,-1)
   • v₂ = (1,0,1)

   v₁, v₂ generano R³

   (x, y, z) = a₁ (4,0,-1) + a₂ (1,0,1)

   • a₁ + 2 = x
   • y = 0 {
   • a₂ = 2 {
   • a₂ (x+z)
   • z = x - 2
   • a₁ = x
   • a₂ = 2
   • (z;0;3)
   • (2;i;2)

   Abbiamo trovato un vettore che non può essere scritto come combinazione lineare di v₁ e v₂. Quindi v₁ e v₂ NON generano R²