Appunti Algebra lineare e geometria

Algebra dei vettori e delle matrici

Somma tra vettori:

1. v_1 + w_1 = v_1 + w_1 v_2 + w_2 = v_2 + w_2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ v_n + w_n = v_n + w_n

Prodotto per uno scalare:

1. w_1 | k w_1 w_2 | k w_2 ⋮ | ⋮ w_n | k w_n

Combinazione lineare

Si dice che un vettore v è combinazione lineare dei vettori v_1,...,v_d se esistono degli scalari t_1,...,t_d ∈ K tali che

v = t_1 v_1 + t_2 v_2 + ... + t_d v_d

Gli scalari t_1,...,t_d si dicono coefficienti della combinazione lineare

Esempio

1. [ 3 ] [ 5 ]

è combinazione lineare dei vettori:

1. [ 1 ] [ 0 ]
2. [ 0 ] [ 1 ]

con i coefficienti 3 e 5:

1. [3 + 5 * 0] [0 + 5 * 1]

Base canonica

Con base canonica si indica l'insieme ordinato {e_1, e_2,..., e_n} di K^n.

I vettori e_1, e_2,..., e_n sono i vettori colonna che hanno l'i-esimo elemento=1 e il resto nulli.

Esempio vettori e combinazione lineare dei vettori della base canonica. Infatti:

1. 1 | 0 | 0 | ⋯ | 0 ⋯ 0 | 0 0 | 1 | 0 | ⋯ | 0 0 ⋯ 0 ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | 0 ⋮ ⋯ ⋮ 0 | 0 | 0 | ⋯ | 1 ⋮ ⋯ 0

Dipendenza / Indipendenza lineare

Verificare che 2 vettori sono linearmente dipendenti o no.

I vettori v_1, v_2,..., v_n si dicono linearmente dipendenti se esistono scalari non nulli

Es. 3,2,1, 4,3, 5.

Si dicono linearmente indipendenti se l'unico scalare che annulla la loro combinazione è θ = 0.

Algebra dei vettori e delle matrici

• Somma tra vettori:

[ v₁ ] [ w₁ ] [ v₁ + w₁ ]V = [ v₂ ] + [ w₂ ] = [ v₂ + w₂ ] [ ... ] [ ... ] [ ... ] [ vₙ ] [ wₙ ] [ vₙ + wₙ ]

• Prodotto per uno scalare

K [ v₁ ] [ Kv₁ ]K = [ v₂ ] = [ Kv₂ ] [ ... ] [ ... ] [ vₙ ] [ Kvₙ ]

• Combinazione lineare

Si dice che un vettore v è combinazione lineare dei vettori v₁,...,v_d se esistono degli scalari t₁,...,t_d ∈ K tali che

[ v₁ ] v = t₁ [ v₂ ] + t₂ [ ... ] + ... + t_d [ v_d ]

Gli scalari t₁,...,t_d si dicono coefficienti della combinazione lineare

Esempio

[ 3 ] [ 1 ] [ 0 ] v=[ 5 ] è combinazione lineare dei vettori: i= [ 0 ] e j =[ 1 ] con i coefficienti 3 e 5: