Appunti Algebra lineare e geometria

Sottospazi vettoriali

Proposizione

L'insieme S delle soluzioni di un sistema lineare m x n omogeneo Ax=0 è un sottospazio vettoriale di Rⁿ

dim

• 0 è S quindi S ≠ ∅
• S è chiuso rispetto alla somma perché se x₁, x₂ sono due soluzioni allora A(x₁+x₂) = Ax₁+Ax₂ = 0+0 = 0
• S è chiuso rispetto al prodotto perché c∈R, se x̄ è una soluzione allora A(c x̄) = 0 ⇒ c (Ax̄) = 0 c0=0 c x̄ è una soluzione

Proposizione

Span (V₁, V₂, ... V_k) è un sottospazio vettoriale

dim

• basta dimostrare come sopra che:
• chiuso rispetto alla somma
• chiuso rispetto al prodotto
• 0̄ ∈ span (V₁, V₂, ... V_k)

Proposizione

Se _v è combinazione lineare di _v1, _v2, … _vk allora

Span(_v1, _v2, … _vk, _v) = Span (_v1, _v2, … _vk)

dim

Ovviamente Span (_v1, _v2, … _vk, _v) ⊇ Span (_v1, _v2, … _vk)

Dimostriamo che Span (_v1, _v2, … _vk, _v) ⊆ Span (_v1, … _vk).

Infatti lo span (_v1, … _vk) contiene (_v1, _v2, … _vk) ma anche _v per hp.

Quindi contiene Span (_v1, _v2, … _vk, _v) che è il più piccolo sottospazio vettoriale che contiene (_v1, _v2, … _vk, _v).

Proposizione

_v1, _v2, … _vk ∈ V sono dipendenti ⇔ almeno uno di essi è combinazione lineare degli altri

dim

⇒ Per hp esiste c_1v1 + c_2v2 + … + c_kvk = 0 con (almeno) c_i ≠ 0

Portiamo a destra tutti i termini eccetto l’i-esimo.

c_ivi = -(c_1v1 + c_2v2 + …. + c_i-1

dim

Sia B' un'altra base con m vettori. Essendo questi vettori linearmente indipendenti, m ≤ n. D'altro canto, anche i vettori di B sono indipendenti e, essendo B' una base, n ≤ m quindi n = m

Teorema (delle estrazioni)

Sia A = {_Y1, _Y2 ... _Yk} un insieme di generatori di V e B ⊆ A un sottinsieme massimale di vettori indipendenti (cioè i vettori di B sono indipendenti ma, se aggiungiamo un altro vettore di A, diventano dipendenti). Allora B è una base di V.

Teorema (del completamento delle basi)

Sia B' = (V₁, V₂, ... V_n) una base di V e siano w₁, w₂, ...w_p ∈ V vettori indipendenti. Allora esistono n-p vettori di B che insieme a w₁, w₂, ... w_p formano una base di V.

dim

Se Span (w₁, w₂, ... w_p) = V, allora p = n e w₁, w₂, ... w_p formano già

Proposizione

L'insieme S delle soluzioni di un sistema lineare Ax = ϑ è un sottospazio affine di Rⁿ

S = V₀ + W

dove V₀ è una soluzione del sistema e W è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato

dim

Dimostriamo che S ⊇ V₀ + W. Sia W̅ ∈ W :

A (V₀ + W̅) = AV₀ + AW̅ = ϑ - ϑ = ϑ

V₀ + W̅ ∈ S

Dimostriamo che S ⊆ V₀ + W. Sia V̅ ∈ S. Bisogna dimostrare che V̅ - V₀ ∈ W :

A (V̅ - V₀) = AV̅ - AV₀ = ϑ - ϑ = 0

V̅ - V₀ ∈ W

Nucleo

Sia \( T: V \rightarrow V' \) un'applicazione lineare \(\dim V = n\) .

Il nucleo di \( T \) è

\(\text{Ker} T = \left\{ \vec{v} \in V : T(\vec{v}) = \vec{0} \right\}\)

Proposizione

\(\text{Ker} T\) è un sottospazio vettoriale di \( V \) e \(\dim \text{Ker} T = n - \text{rg} A\),

dove \( A \) è la matrice associata rispetto a qualsiasi scelte delle basi

dim

• \(\text{Ker} T \neq \varnothing : \vec{0} \in \text{Ker} T\) perché \(T(\vec{0}) = \vec{0}\)
• chiuso rispetto alla somma: se \( V_1, V_2 \in \text{Ker} T\), allora

\(T(V_1 + V_2) = T(V_1) + T(V_2) = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}\)

quindi \( V_1 + V_2 \in \text{Ker} T\)

• chiuso rispetto al prodotto: se \(\vec{V} \in \text{Ker} T\) allora

\(T(c \vec{v}) = c T(\vec{v}) = c \vec{0} = \vec{0}\)

quindi \( c \vec{v} \in \text{Ker} T\)

Diagonalizzabilità

Problema Sia T : V → V un endomorfismo e siano B, B' due basi di V.

• Come sono collegate M_B,B(T) e M_B',B'(T)?
• Ci sono basi B per cui M_B,B(T) è semplice (ovvero diagonale)?

Definizione

Due matrici A, A' e M_n si dicono simili se esiste una matrice invertibile P ∈ M_n:

• A' = P^-1AP

Essere simili è una relazione di equivalenza.

Teorema

M_B,B(T) e M_B',B'(T) sono simili senza sim.

Viceversa se A è simile a M_B,B(T), esiste una base B' per cui A = M_B',B'(T): se A = P^-1M_B,B(T)P, allora P è la matrice del cambiamento di base che cambia da B' a B.

Definizione

Una matrice A ∈ M_n si dice diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale.

Corollario

Un endomorfismo (o una matrice) è diagonalizzabile <=> esiste una base composta da autovettori

dim

Come il precedente.

#

Corollario

Se un endomorfismo di uno spazio di dimensione n (o una matrice ∈ M(n)) ha n autovalori reali e distinti allora è diagonalizzabile

dim

Siano λ1,…,λn autovalori reali e distinti. Prendiamo un autovettore per ogni autovalore e da un corollario precedente "Autovettori relativi ad autovalori distinti (diversi tra loro) sono indipendenti", allora essendo n autovettori indipendenti formano una base quindi è diagonalizzabile.

#

Attenzione: Il viceversa non vale: un endomorfismo con meno di n autovalori può essere diagonalizzabile (ad esempio b))

3 ⟹ 1

Prendo una base per ogni autospazio. Mettendo insieme questi vettori ottengo n vettori. Bisogna dimostrare che sono indipendenti.

base di E(_λ₁) = V₁ ... V_n₁

base di E(_λ₂) = V₁ ... V_n₂

... e così via

base di E(_λₕ) = V₁ ... V_nₕ

Sia c₁V₁ + ... + c_nV_n + c₁V₁ + ... + c_nV_n + ... c₁V₁ + ... + c_nV_n = o

V_n + V_n + ... + V_n = o

Poiché autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti, V₁ = V₂ = ... = V_n = o devono essere tutti nulli

per l’indipendenza dei vettori