Applicazioni lineari - Dimostrazioni teoremi spiegate

Applicazioni Lineari

Teorema di Struttura

Sia ^v° ∈ Rⁿ una soluzione del sistema lineare Ax = b di ordine n.

Allora ogni altra soluzione v è della forma V = v° + W, dove W ∈ Rⁿ è una soluzione del sistema omogeneo Ax = 0.

Fatto importante: (sempre parte del teorema)

Se L ⊆ Rⁿ è l'insieme delle soluzioni del sistema Ax = b e W ⊆ Rⁿ è l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato Ax = 0, si ha

L = v° + W = {v° + w | w ∈ W}

(sottospazio affine)

P.S. v° è l'unica soluzione del sistema Ax = b <=> A è non singolare (sempre parte del teorema)

(A₁, ..., A_n lin. ind. ⇒ v° = 0)

(unica soluzione)

Dimostrazione:

Testo: v° = (v₁°, ..., v_n°) una soluzione di Ax = b. Sostituendo v° alle incognite x abbiamo:

Av° = b ⇒ v₁° A₁ + ... + v_n° A_n = b

w = (w₁, ..., w_n) una soluzione di Ax = 0. Sostituendo w alle x abbiamo:

Aw = 0 = w₁ A₁ + ... + w_n A_n = 0

⇒ A(v° + w) = (v° + w)₁ A₁ + ... + (v° + w)_n A_n = b

⇒ anche v° + w è soluzione del sistema lineare Ax = b

Proposizione

Siano V e W due spazi vettoriali; {V₁,...,Vₙ} una base di V e w₁,...,wₙ vettori qualunque di W.

Allora esiste un'unica applicazione lineare T:V→W tale che

T(V_j)=w_j j=1,...,n

L'applicazione T è definita da

T(α₁V₁+...+αₙVₙ)=α₁w₁+...+αₙwₙ ∀α₁,...,αₙ∈ℝ

Fatto importante:

Un'applicazione LINEARE è UNIVOCAMENTE determinata dai valori che assume una base.

Dimostrazione:

Prima di tutto verifichiamo che l'applicazione T sia lineare. Prendiamo v, v'∈V e li scriviamo come combinazione lineare della base di V:

v=α₁V₁+...+αₙVₙ, v'=α'₁V₁+...+α'ₙVₙ

Verifichiamo l'additività e l'omogeneità:

v+v'=(α₁+α'₁)V₁+...+(αₙ+α'ₙ)Vₙ

1. T(v+v')=(α₁+α'₁)w₁+...+(αₙ+α'ₙ)wₙ=

T(V₁) = T(V₂) ⇔ T(V₁) - T(V₂) = 0 ⇔ T(V₁ - V₂) = 0

⇔ V₁ - V₂ ∈ Ker T

Siccome Ker T = {0}, allora

V₁ - V₂ = 0 ⇔ V₁ = V₂

Quindi, per definizione di iniettività:

(∀a₁, a₂ ∈ A t.c. a₁ = a₂ => f(a₁) = f(a₂)), T è iniettiva.

□

Teorema della Dimensione

Sia T: V → W un'applicazione lineare.

Allora

dim V = dim Ker T + rg T

Dimostrazione

Sia {V₁,...,V_p} una base di Ker T, dove p = dim Ker T.

Per il teorema del completamento:

∃ una base di V t.c. {V₁,...,V_p,U_p+1,...,U_r}

dove r = dim V.

Poniamo W_j = T(U_p+j) ∈ W per j=1,...,s,

dove s = r - p.

Se W_j sono linearmente indipendenti, allora

B = {V₁,...,V_p,U_p+1,...,U_s}

è una base di Im T.