Parte 3, Analisi matematica I

• Osservazione 2

sappiamo che una funzione y = f(x) è corrispondenza biunivoca e dunque invertibile se ogni

valore di y è il corrispondente di un solo valore x.

• Osservazione 3 -1

sia y = f(x) una funzione corrispondenza biunivoca con f invertibile e f la sua inversa :

• y = f(x)D(f ) I(f )

• -1 -1 -

x = f (y) D (f ) = I(f ) I(f

1 ) = D(f )

-1

Passando da f a f si scambiano i ruoli la x con la y

e graficamente si ha:

Dal punti di vista geometrico ricordando che la

simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante

porta l'asse x sull'asse y e viceversa si traduce nel -1

fatto che il grafico di f e quello della sua inversa f

sono simmetrici rispetto alla bisettrice.

• Osservazione 4

sia y = f(x) una Funzione pari sappiamo che accanto alla x c'è sempre -x nel Dominio

ovvero : f(x) = f(-x).

Graficamente ho: Nel grafico se c'è un punto P(x, f(x) ) c'è anche il punto P' (-

x, f(-x) ) simmetrico rispetto all'asse y.

Si studia e si disegna il grafico per x > 0 e si disegna per

simmetria il grafico di x < 0.

• Osservazione 5

sia y = f(x) una Funzione dispari sappiamo che accanto ad

ogni x nel Dominio abbiamo anche -x con:

f(-x) = -f(x)

Nel grafico di una funzione dispari se c'è P(x, f(x) ) c'è

anche un punto P'(-x, -f(x) ) che è il simmetrico rispetto

all'origine degli assi.

Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto

all'origine quindi si studia e si disegna il grafico per x > 0

e si disegna per simmetria il grafico di x < 0.

Luoghi geometrici

Un luogo geometrico è una curva del piano i cui punti godono tutti di una stessa proprietà

geometrica.

Scrivendo analiticamente questa proprietà si trova l'equazione cartesiana del luogo

geometrico.

Tra i luoghi geometrici ci sono anche le coniche curve che si ottengono sezionando con un

piano un cono a due falde.

Parabola Ellisse e cerchio Iperbole

Si può dimostrare che le coniche sono luoghi geometrici perché i loro punti godono tutti di

una stessa proprietà.

• Ellisse F1 (-c, 0) F2 (c, 0)

AA' = 2a; BB' = 2b; F1F2 = 2c

Se P(x, y) appartiene all'ellisse se PF1 + PF2 = 2a

2 2 2 2

ovvero √(x +c) +y +√(x -c) +y = 2a

La proprietà dell'ellisse è che d1 +d2 è costante ed è

uguale a 2a; sviluppando si trova l'equazione cartesiana

2 2 2 2

dell'ellisse ovvero x /a +y /b = 1.

• Iperbole

la proprietà che caratterizza l'iperbole è che |d1 -d2| = 2a