Parte 3, Analisi matematica I

Grafico della funzione

Il grafico della funzione y = f(x) è il grafico dell'equazione y = f(x), cioè l'insieme dei punti P (x, y) del piano che con le loro coordinate soddisfano l'equazione y = f(x). Dal disegno si vede che il dominio della funzione è uno o più intervalli dell'asse x o al più, se il dominio è tutto R, tutto l'asse x. Mentre l'insieme delle immagini I della funzione è uno o più intervalli dell'asse y o al più tutto l'asse y se I: R.

Osservazioni sul grafico di una funzione

• Osservazione 1: Sappiamo che y = f(x) è effettivamente una funzione se ad ogni x del dominio corrisponde un solo x dell'immagine. Graficamente, questo si traduce nel fatto che la retta verticale passante per x incontri il grafico in un solo punto.
• Osservazione 2: Sappiamo che una funzione y = f(x) è corrispondenza biunivoca e dunque invertibile se ogni valore di y è il corrispondente di un solo valore x.
• Osservazione 3: Sia y = f(x) una funzione corrispondenza biunivoca con f invertibile e f^-1 la sua inversa:
  • y = f(x) D(f) I(f)
  • -x = f^-1(y) D(f^-1) = I(f) I(f^-1) = D(f)
  Passando da f a f^-1 si scambiano i ruoli la x con la y e graficamente si ha: dal punto di vista geometrico ricordando che la simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante porta l'asse x sull'asse y e viceversa si traduce nel fatto che il grafico di f e quello della sua inversa f^-1 sono simmetrici rispetto alla bisettrice.
• Osservazione 4: Sia y = f(x) una funzione pari, sappiamo che accanto alla x c'è sempre -x nel dominio, ovvero: f(x) = f(-x). Graficamente, se c'è un punto P(x, f(x)) c'è anche il punto P'(-x, f(-x)) simmetrico rispetto all'asse y. Si studia e si disegna il grafico per x > 0 e si disegna per simmetria il grafico di x < 0.
• Osservazione 5: Sia y = f(x) una funzione dispari, sappiamo che accanto ad ogni x nel dominio abbiamo anche -x con: f(-x) = -f(x). Nel grafico di una funzione dispari, se c'è P(x, f(x)) c'è anche un punto P'(-x, -f(x)) che è il simmetrico rispetto all'origine degli assi. Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine, quindi si studia e si disegna il grafico per x > 0 e si disegna per simmetria il grafico di x < 0.

Luoghi geometrici

Un luogo geometrico è una curva del piano i cui punti godono tutti di una stessa proprietà geometrica. Scrivendo analiticamente questa proprietà...