Analisi matematica I - Numeri complessi

ELEMENTO

infatti x x

1,0

y y

Vogliamo 1,0

imporre x x

y y

Abbiamo 1

e gg

l'y O

y

Se ottiene

il sistema

Risolvendo

I si

x 0,0

y si

A 1,0

x

1g y

pone

Iga

x

g y Ix

di

inverso y

Consideriamo l'insieme R ER

R

era qualunque

x X

a

42,0 R

E

siano 0

Xs Gatta

la o

1,0 festa

o 0 0

es x

R al

che

alla

STABILE

è prodotto

sia somma

rispetto e

le che

stesse

le consideriamo

in questo sono

operazioni dei

la reali

l'addizione moltiplicazione numeri 2,4

per e Nella restano

19

varia

STABILE componente

non Xs e x2

nella dello

dello

resta stesso

tipo

stesso tipo

29 2

0 stabile coppia

coppie reali particolari

considerare

Possiamo i numeri come

X

complessi

numeri X

o ER

Consideriamo R

I Rx

E

ora o y

g

I

E complessi

I

o 92 insieme

o n

ya o

o o

92 Satya

ys

o 9192,0

0,92

91 alla al

I è STABILE rispetto prodotto

somma ma non

nella

Solo resta

O

nella I componente e

somma gaeya

nella I

I complessi reali dicono immaginari

numeri gli

si

non

elementi I dicono Puri

di immaginari

Si

I Le di cicliche

i potenze i

E sono

0,1 di

io 1 ordine 4

it dà negato

un numero puro

if immaginario

p R

il E

1

1

o 1,0

1

o

3

i 1

i il o

o 1,0 1 i D IMMAGINARIO

3

i 1

i 1

i 1

1 0

o

o 7

is i

i i

e 1 i 1

ily

o o a a

y o

g

Di conseguenza o

D

x x y

y FORMA

i ALGEBRICA

X

X y

y

X PARTE PARTE IMMAGINARIA

REALE DELL'IMMAGINARIO

COEFFICIENTE

o

x x o g

y 19,0

1

x o

a ily o

a ER

ig x y

Ay g

x il

X

2 è

DEL COMPLESSO Ig

NUMERO

CONIUGATO numero

E

complesso X iy

Un coincide Esineide il

complesso coniugato

numero suo

con

è

FEFÈ K ERA

O REALE

D

g ER

TE

reale

il

MODULO DEL 2

COMPLESSO è

NUMERO numero e

Ovviamente

denota la

si 2

a

con Un

fa 9 complesso

numero

x y 2 X il il

ig opposto

Zextig suo

suo

NÉ

al

1

MEGL

late ggaeg

E hanno lo

del coniugato

stesso modulo cioè

x y

x y al E

E

al f

è tig

E x ig FECI

LEI

tela TAGE

L'unico modulo uguale

numero è

Zero Zero

con a

La di R

rappresentazione geometrica fornisce una

dei

rappresentazione complessi

numeri associato

Ad complesso 2

numero viene

tig

ogni

univocamente coordinate

di

il P

punto x y

reale

parte di

ascissa 2

della

ordinata parte

coefficiente

y immaginaria

Quando del pensati

punti di

sono

i come immagini

piano

prende di

il Piano

numeri complessi complesso

nome o

RHO ER

Di GAUSS hanno

I lo

reali

numeri x o dell'asse P

punti

i

immagine

per mentre gli

reale 11,1

if

asse ati

hanno

o

immaginari puri y La

1 1 0

16,9 yer

dell'asse

punti

i

immagine

per È

immaginario

asse

y P

hanno

E

E xing

e

tig per

x immagine

Pele simmetrico

Pa

punti

i g

x e

y hanno

ig come

2 immagini

e

tig

all'asse 2

rispetto x

Pitt

Plx simmetrico all'origine

rispetto

9

e

g

FORMA DEI

TRIGONOMETRICA NUMERI COMPLESSI

Pè

P cartesiane

coordinate sul

l'immagine complesso

piano

x y modulo

La Pda

distanza O

di di

al

uguale

2 è 2

Xtig p

la Età reale

parte

quindi teff immaginario

y

p

PESO

x FORMA

Forma

O 2 ig

sen ALGEBRICA TRIGOPOMETRICA

y p lessati

Di seno

2 o

seno

posso

ig tip

conseguenza p

p

ha

che modulo

numero o

complesso argomento pagate

e

p da

Da coordinate Polari

CARTESIANE A trigonometrica

algebrica a

petty

modulo

calcolo il tali condizioni permettono

1 di

determina o individuare

seno l'angolo

2 a

go multipli

di di 27

meno

È etti

dato da O

principale

L'argomento è

il

ESERCIZIO complesso

trigonometrica seguente

scrivi forma numero

in

It i

2 1

1 9

E

TY

p E v2 E

so 1 ti

E_E 2 ESSE tisane

o_è 2K

seno E

DA FORMA AD

TRIGONOMETRICA ALGEBRICA

ESERCIZIO O

1 I

p Plesso 1

O O i z

seno

i

posso e

seno

y p conti

la trigonometrica

si semplificare i

forma

usa per

plesso tisana

tisana esso

2

e p

Forma D

algebrica

plesso tisana esso tisana

22 pi

pietoso caso'ticososeno cosi seno

seno

ti sono esso

seno't

esso caso seno esso seno

i

seno

pp costato 0 0

isen

pp

Il ha modulo dei

di complesso il

prodotto prodotto

numero

un per

la

moduli degli argomenti

argomento somma

per

e

P O 0

Z 2 p

Forma trigonometrica D

0

0

22 p

p al

Tale relazione di

estende fattori

si prodotto n

0 la Onta

Om On

pa pa

pa

pm

p pa

Se della

abbiamo il calcolo

On

02

01 potenza

e

pa

per pm di

intero positivo cioè

complesso

esima

n numero

un

con n FORMULA DI DE MOIVRE

no

pm

o

p 030 1

O 1,0

M

per p

Supposto o

pe

m 1

1 1

0

p ogni essnotisenno

pm

pm

p no il tra

dividiamo il

moltiplichiamo prodotto

coniugato

e per reale

è

complessa toniugato numero

e

n un

i

Cosmo no

sen i

cosmo

senno

pm noti senno

Eos ta

Xz ta Yaya Yaya 291

g

xp ya cosmo senno

i

f isennoisenno.lt

essnoeosno isennoeosno isennocosmo

pm senno

Cosmo i senno

cosmo i

In fari

Emoji

pm dispari

f

I l'senno Isen

cosmo Eos no no

la fondamentale

formula

per della trigonometria pon

sentono no

no ti

eos no

p n

pl

otteniamo 0

o

1

me

per p dei

quoziente

MODULO

il moduli

quoziente

Regola a

per 1 plio

O o

o 0

P o 0 0.001

E p p

p

p

g o differenza

Se aramentegli

osservando che

esso tisana

2 ig argomenti

p tale che

0

dimostra E

che aretz

o è

E tg o

se x

si

Igf o

amata E a se

o

0 o

se se geo

o

x E se

zeig E

g

la di

Determinare sti

algebrica

forma E

i COSO

1 O

1

1 Ig

2 p

9 e

E E seno

2 28 16

E 8 2T

no 2

2 2

2

pm eos tisana

27

E I 5

DEI COMPLESSI

RADICI ESIME NUMERI

N WIFE di

radice

Ed esima

a 2

n

determinare soluzioni

le rappresentiamo

di quest'equazione

per che

il

trigonometrica

forma

in complessa l'incognita w

sia e

n Moivre

Per di

le de

0

o formule

a

p p

un noi

pi

o 0

2 p

p MO

O

cioè 2kt

pi

p

di III

conseguenza f 2

K

TE ftp.ot kty

ottiene

Si O

p

dunque

di

al K

variare di

Due di

multiplo

coincidano 2T

angoli un

differiscono

se

Ot ftp.OTYI

Tp e

radici

tali solo

coincidono se

Ot O

2k T 2

I 2hr

n O 2k

Otaki T 2T h 2 02

E 01

2h ha

h

E

_2k Ehi ke

_E

XKE ke

D D sta valori

la differenza

di deve

2

KE essere un

di

multiplo m

Se consecutivi

valori

attribuiamo due

radici

attengono

si

a

k m

a a

distinte altro

due valore

Attribuendo qualunque

k si

un

a

a radici

precedenti

delle

riottiene variare

facciamo

quindi

una tutte

Dato hanno lo

le

che radici

K 1

O 1,2 n

m le

modulo

stesso loro sulla circonferenza

immagini giacciono

ftp

centro dividono

di la parti

l'origine in

e n

e

maggio ammette

0

complesso

Ogni

uguali radici

numero p

2 n

attribuendo all'intero

che valori

esima si

n K n

attengono

consecutivi

Es 5 6,7

K

II Yo Io ho

E

11,12

10 13,14

così via

e

le di

the 1

radici cubi

determinare

ESERCIZIO 2

TI 1,0

W 1

2

TI L

p È 1

O O

ESSO O

seno L O senati

Tp In i K 1,2

O 3

We m

ess 1

2

cos'È

V i sen

NK i

i

i

R

1 1 i 0 E

I D

no of IF

Is

1

Be

E

1 i

ess i

sen

we least 5

1 isen vz

i

wz I I D

N2 1

Se delle di

punti radici vertici

i

3 i

ne poligono

immagine sono un

inserito

lati nel avente

cerchio il

di cerchio

frontiera

n

ESEMPI

Calcolare le seste i

di

radici

1

Irti aFI

tr.com j

Ls

PESO 1 O

OSI 1

O 1

y sen seme

p K 4,5

3

1,2

O

Fa

Ti E

TE 2kt

o

pi o

m

6

I Ota E 2K

6

Calcolare di

le quarte

radici ti

1

2 2 1

L

i

It quindi 9

E

TI

p o È

fa

cos E O 2kt

I

seno E È

I 2kt

F

te

E g

p 4

E TE V2 Et K 0,112,3

Calcolare soluzioni

le di v3 0

3 2 TÌ te

Un V3 2

2 _2 pe

fa

Fa

q3 w

2 a È

piè

a

a a

a 112

K

m 3 O O o

sen

Taft it