Analisi matematica I (appunti di teoria completi)

V

Il reciproco di “z” è: 2 2 2 2

1 / z = (a / (a + b )) – i (b / (a + b ))

z * (1 / z) = 1

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7.3.6 Calcolo del coniugato (coniugazione)

z := Re(z) - Imm(z)i

Graficamente: z

b a

-b z

Un numero complesso ed il suo coniugato sono posti sul piano di Gauss

simmetricamente rispetto all’asse reale (la trasformazione che associa a “z” il

suo coniugato è la simmetria rispetto all’asse reale, ma è anche una isometria

dato che non cambia le distanze).

• Se “z” è un numero reale, esso è uguale al suo coniugato.

• Se “z” è un numero immaginario, il suo coniugato è “–z”.

7.3.6.1 Proprietà del coniugato

• z + w = z + w

• z * w = z * w

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7.3.7 Modulo di un numero complesso 2 2

|z| = √(a + b )

Geometricamente, il modulo di “z” è la distanza euclidea tra “z” e “0” (teorema di Pitagora):

z

b a

0

Proprietà:

• |z| = √( z * z )

• 2 2 2

(1 / z) = z / (z * z) = z / |z| = (Re(z)/(|z| )) – i (Imm(z)/(|z| ))

• |z| = |z| (il modulo è una isometria)

• |z * w| = |z| * |w|

• |-z| = |z|

• Il modulo di un numero complesso reale coincide con il modulo in R di quel numero reale.

• Disuguaglianza triangolare (vedi “7. 3. 7. 1. ”).

7.3.7.1 Disuguaglianza triangolare

|z + w| ≤ |z| + |w|

O anche: |z – z | ≤ |z – z | + |z – z |

1 2 1 3 3 2

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7.3.7.2 Distanza tra 2 numeri complessi

La distanza tra 2 numeri complessi z e w è:

|z – w|, dato che:

7.4 Numeri complessi sul piano di Gauss

i

-1 + i 1 + i

-1 1

0

-1 - i 1 - i

-i

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7.5 Forma trigonometrica dei numeri complessi

Dato un generico numero complesso z 0:

≠

• z = z * (|z|/|z|) = |z| * (z / |z|)

• Definiamo p := |z| e w := z /|z| così: z = p*w

• |w| = | z / |z| | = |z| / ||z|| = |z| / |z| = 1

Quindi:

• w ha distanza “1” dall’origine (si trova sul cerchio unitario):

ϑ ϑ) ϑ ϑ

w = (cos , sen = cos + isen

ϑ

0 1

Quindi (ϑ è l’argomento di z, si indica con Arg(z)): ϑ ϑ)

z = |z| (cos + isen

ϑ [0; 2π] (abbiamo fissato l’intervallo di periodicità)

∈

Ho convertito le coordinate cartesiane in coordinate polari.

Sul piano di Gauss posso univocamente identificare un numero complesso sapendo:

• La sua distanza dall’origine: |z|

• ϑ: ϑ

L’angolo Imm(z)/Re(z) = tg(ϑ) (se il numero è immaginario, è π/2 3π/2).

V

ϑ

arctg(Imm(z)/Re(z)) =

o Per scegliere quale dei 2 angoli prendere, guardiamo il segno della parte reale e della

o parte immaginaria (ovvero in quale quadrante siamo).

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7.6 1° Formula di de Moivre

Dati 2 numeri complessi in forma trigonometrica:

• ϑ ϑ

z = p (cos + i sen )

1 1 1 1

• ϑ ϑ

z = p (cos + i sen )

2 2 2 2

Il loro prodotto sarà:

• ϑ ϑ ϑ ϑ

z * z = p (cos + i sen ) p (cos + i sen ) =

1 2 1 1 1 2 2 2

• ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

= p *p * ((cos cos - sen sen )+ i (cos sen + sen cos )) =

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

• ϑ ϑ

= p *p * (cos (ϑ + ) + i sen (ϑ + )) = z * z

1 2 1 2 1 2 1 2

Osservazione (∀n ≥ 1): n n

z = p (cos (nϑ) + i sen (nϑ))

7.7 2° Formula di de Moivre

Sia dato un numero complesso “w” (diverso da “0”) ed un numero “n” intero diverso da “0”. Sia:

• ϑ ϑ)

w = p (cos + i sen

Allora:

• n

z = w

Ha esattamente “n” soluzioni date da:

• ϑ ϑ

1 / n

z = p (cos + i sen ) k = 0, 1, 2, 3, … , n-1

n k k

Dove:

• ϑ = (ϑ + 2kπ) / n

k Le soluzioni sono dette radici n-esime di “w” e formano i vertici di un

poligono regolare (con lati tutti della stessa lunghezza) di “n” lati inscritto sul

1 / n

cerchio di raggio p .

Osservazioni:

• Nei numeri complessi, un numero avrà 2 radici quadrate, 3 radici cubiche, 4 radici quartiche e

così via (avrà “n” radici “n-esime”).

• Graficamente otterrò un poligono regolare, dato che tutte le soluzioni hanno stesso modulo

ed un argomento tutti multiplo di “ϑ”.

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7.7.1 Teorema fondamentale dell’algebra (osservazione)

n k 2 n

Un polinomio P(z) = Σ c *z = c + c z + c z + … + c z (di grado “n”)

k 0 1 2 n

k = 0

Tutti i coefficienti sono numeri complessi e c ≠ 0 .

n

Un polinomio ha esattamente “n” zeri (non necessariamente distinti che

numeriamo da “0” a “n-1”), cioè ha “n” numeri complessi che se sostituiti a

“z” danno come risultato della sommatoria “0”:

P(z) = c (z – z ) (z – z ) … (z – z )

n 0 1 n-1

Abbiamo fattorizzato il polinomio in potenze di grado “1”.

Se w , … , w sono le radici distinte e le molteplicità di esse sono m , … , m :

1 N 1 N

m m m

P(z) = c (z – w ) (z – w ) … (z – w )

1 2 N

n 1 2 N

Allora: m + … + m = n (grado del polinomio)

1 N

Caso particolare:

• n

P(z) = z – w

•  n

P(z) = 0 z = w

• Trovare gli zeri di questo polinomio equivale quindi a trovare le sue radici n-esime;

• Per de Moivre, il numero di radici è pari a “n”.

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7.8 Trasformazioni geometriche coi numeri complessi

7.8.1 Interpretazione geometrica del prodotto

7.8.1.1 Dilatazione

• Sia r ≥ 0 e w := r * z

• Se z = a + ib

• w = r * (a + ib) = ra + irb

• Re(w) = ra Imm(w) = rb

• tg(arg(w)) = Imm(w)/Re(w) = rb / ra = b / a = tg(arg(z))

• Dato che r ≥ 0 :

Il segno di “a” è uguale al segno di “ra”;

o Il segno di “b” è uguale al segno di “rb”.

o

• arg(w) = arg(z) w

z

ϑ

• |w| = r * |z| D : C -> C

r

D (z) := r * z ≥ 0 , C

∀r ∀z ∈

r D è una dilatazione

r

Se r < 0 otteniamo un ribaltamento rispetto all’origine (saremo sempre sulla

stessa retta ma sulla parte opposta rispetto all’origine), passando quindi al

quadrato opposto.

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7.8.1.2 Rotazione

w è un numero complesso tale per cui |w| = 1

Sia z un numero complesso fissato e v := w *z

• z = p(cosϑ + i senϑ)

• w = 1*(cosα + i senα)

• ϑ) ϑ))

v = p (cos(α + + isen(α +

• |v| = |z|

• ϑ

Arg(v) = + α z

v ϑ + α ϑ

Moltiplicare un numero complesso “z” per un altro numero complesso “w”

di modulo unitario, significa ruotare sulla stessa circonferenza (con centro

nell’origine e di raggio pari a |z|) “z” di un angolo pari all’argomento di “w”.

R : C -> C

w

R (z) := w*z C

∀z ∈

w

È una rotazione di centro “0”.

7.8.1.3 Caso generale

Se w è un numero complesso fissato (diverso da “0”), la trasformazione:

T : C –> C

w

T (z) := w * z = |w|z * (w/|w|) = D (R (z))

w |w| (w/|w|)

T = D ° R = D ° R ϑ

w |w| w/|w| |z|

È la composizione di una rotazione e di una dilatazione (rotodilatazione).

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7.8.2 Interpretazione della somma come traslazione

Sia t un numero complesso fissato e consideriamo la trasformazione:

• S (z) = z + t

t

7.9 Funzione di Zukowski (cenni)

Funzione non isometrica (cambia le distanze) che conserva gli angoli (molto

utile per semplificare i problemi di fluidodinamica).

Osservazioni:

• L’ala può essere quella di un aeroplano oppure rappresentare un oggetto immerso in un fiume

(in generale, rappresenta un “ostacolo”) e nel momento in cui si deve studiare come un certo

fluido sorpassa essa, per mezzo di questa funzione si può trasformare il problema in un

problema analogo ma avente un modello circolare (un “disco”), in cui i conti sono molto più

semplici;

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• Zukowski fu il pioniere dell’aviazione sovietica che dimostrò che nel momento in cui l’ala

assume una certa forma la portanza, ovvero la forza che spinge l’ala dal basso verso l’alto, è

sufficiente per fare volare l’aeroplano;

• Funzioni di questo tipo furono assai studiate agli inizi del ‘900.

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8 Funzioni in R

8.1 Punto di accumulazione

x (reale) si dice punto di accumulazione di un insieme E sottoinsieme di R se:

0 possiamo avvicinarci a x senza mai uscire da E ed in maniera non banale:

0

Per ogni ε>0, si ha che (E-{x }) ∩ ]x – ε, x + ε[ non è vuoto (prendendo un

0 0 0

generico punto di