Analisi matematica C

Appunti per l'esame di Analisi matematica C, basato sul corso del prof. Villarini Massimo presso Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia - UniMoRe. Non è presente la parte …

Esame Analisi matematica c

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Villarini Massimo

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Publisher matteolugli

A.A. 2020-2021

58 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

D

−π 1 p→0

sin[(n+ )p]

1 2n+1

( = ⟶

D p)

n p

2π sin 2π

SERIE DI FOURIER 3

C R

: [−π, → 2π−

Sia , e la si prolunga per periodicità in

f π] [−π,

Si supponga che la funzione così ottenuta abbia in un numero finito di punti di discontinuità

π]

1 a

di specie/di tipo salto, allora C)

∈ ([−π, ∖ {x , … , } ,

f C π] x

1 n

discontinuitaˋ

± R

lim = ) ∈ = 1, … ,

per

f(x) f(x j n

x→x j

j C)

∈ (]x ,, [,

Sia inoltre e risulti

f C x

j−1 j

+ −

+ − ) + − )

f(x h) f(x f(x h) f(x

j j

′ + ′ −

j j R

R,

lim (x ) ∈ lim (x )∈

= =

f f

j j

h h

+ −

h→0 h→0

Definizione Funzione liscia a tratti

Una funzione definita come sopra si dice liscia a tratti

Teorema di Dini R

: [−π, →

Data una funzione liscia a tratti, allora la serie di Fourier di coverge puntualmente

f π] f

R

[−π,

in (in tutto considerando l’estensione periodica) e

π] +∞ + −

inx ) − )

e f(x f(x

∑ n→∞

^ ⟶ su [−π,

f π]

n 2

2π

n=−∞

Teorema di Dini indebolito ∈ [−π, 2π−

Data una funzione liscia a tratti in , in cui l’estensione periodica di è derivabile,

f x π] f

allora +∞ inx

∑ n→∞

^ ⟶ in

f f(x) x

n 2π

n=−∞

SERIE DI FOURIER 4

C)

∈ ([−π,

La serie di Fourier associata a una funzione è data da

f C π],

+∞ +∞ π

inx

∑ ∑ ∫

^ = − sin(ns))ds

f f(s)(cos(ns) i

n 2π

2π

−π

n=−∞ n=−∞

+∞ π π

1 (∫ )

∑ ∫

cos(ns)ds − sin(ns)ds

= (cos(nx) + sin(nx))

f(s) i f(s) i

2π

−π −π

n=−∞

+∞ −

a ib

∑ n n

= (cos(nx) + sin(nx))

n=−∞

+∞ +∞

− −

a ib a ib

∑ ∑ −m −m

n n

= (cos(nx) + sin(nx)) + (cos(mx) − sin(mx))

2 2

n=0 m=1

+∞ +∞

− +

a ib a ib

∑ ∑

n n m m

= (cos(nx) + sin(nx)) + (cos(mx) − sin(mx))

2 2

n=0 m=1

∞ ∞

1 1

a ∑ ∑

= + cos(nx)[ − + + ] + sin(nx)[ia + − + ]

a ib a ib b ia b

n n n n n n n n

2 2 2

n=1 n=1

∞

a ∑

= + cos(nx) + sin(nx) (∗)

a b

n n

n=1

dove π

= ∫

a f(s)ds

0 −π

= cos(ns)ds

∫

a f(s)

n −π

= sin(ns)ds

∫

b f(s)

n −π

R R

: [−π, → , , ∈ (∗)

Se e per ogni allora è detta serie di Fourier di una funzione a

f π] a a b n

0 n n

valori reali ^ ^ ^ −

a ib

= =

Inoltre, sotto queste ipotesi, in quanto

f f f n n

−n

n n 2

SERIE DI FOURIER 5

INTRODUZIONE

Siano R

∈ variabile indipendente (unidimensionale)

x R

∈ ≥ 1 (x ↦ =

n , variabile dipendente

y n y y(x))

R R

: ⊆ → n

insieme delle funzioni derivabili in (con che può non essere

F φ I I I

lo stesso per le varie funzioni di

F

R

: → > 1

Osservazione Se , allora

φ I n dφ (x)

(x) 1

dφ(x)

= e (x) =

φ(x) ⋮ ⋮

( dφ (x)

φ x) n

n dx

{( ) }

R R

1 dφ

= : → × , ∈

n n

F F F

Associato a c’è l’insieme

J φ, I φ

Definizione EDO del 1° ordine dimensionale

m–

Un’EDO del 1° ordine vettoriale di dimensione /sistema di EDO di dimensione è

m m

R R

: × → m

definita da e dalla condizione

F

F J ′

(x, ) = 0 (∗)

F y, y

= 1

Osservazione Se si dice EDO scalare

Definizione EDO dimensionale

m− R N R

(n) : → ∈ ⊂

Sia famiglia di funzioni derivabili volte, intervallo (non

F φ I n I

(n)

necessariamente lo stesso per ogni funzione di

F

{( ) }

n R

(n) (n) (n) (n) (n)

dφ d φ

, … , : ∈ : ×

= →

F F F

Sia e sia assegnata

J φ, φ F J

dx dx

R m , allora un’EDO di dimensione /sistema di EDO di ordine è data

m m m

( )

R

′ (n) (n) dφ d φ

0 : → ∈ , … ,

(x, , … ) = ≡

n F

e una soluzione

F y, y y φ I F φ, n

dx dx

0, ∀x ∈

I

INTRODUZIONE 1

Definizione Soluzione

R R ′

: ⊂ → =

Una funzione è soluzione dell’EDO esplicita se

φ I y f(x, y)

dφ (x) ≡ ∀x ∈

f(x, φ(x)) I

Definizione Problema di Cauchy

R R R

: ⊂ × →

Data , si chiama problema di Cauchy/problema ai valori iniziali il

f D x y

sistema { ′ =

y f(x, y)

0 0

) = condizione iniziale (x , ) ∈

y(x y y D

0 0

R R

: ⊂ →

Una soluzione di tale problema è una funzione dell’EDO che verifica la

φ I

) =

condizione iniziale

φ(x y

Osservazione ↦ (x,

Sapendo che è il grafico della funzione , il vettore tangente a quel

x φ(x)) φ

(x, ⇒

grafico in è tangente a una retta di coefficiente angolare la curva

y) f(x, y)

(x, deve essere tangente punto per punto a rette di coefficienti angolari

φ(x)) 0

(x , )

e deve passare per

f(x, y) y

0 (f(x,

Non è vero che se il campo di un’EDO è elementare (polinomi, funzioni

y))

log

razionali, , , funzioni trigonometriche e composizioni di essere) allora la

e x

soluzione è elementare 2 2

′ = ⇒

x x

∫

Controesempio non è una funzione elementare

y e e dx

= (t, , )

Equazioni di Newton EDO del 2° ordine

m ẍ F x ẋ

2 2 2 2

( ) ( )

x dx dx dx d x d x d x d x

1 2 3 1 2 3

= = , = =

(t), (t), (t) (t), (t), (t)

ẋ ẍ 2 2 2 2

dt dt dt dt dt dt dt dt

2 2

2 1 1

d y d y

= = =

d x

= = = ⇒ ( , ) ( , )

Si pone , e ,

x x x y x z F t, x ẋ F t, x ẋ

1 2 3 1 2

2 2 2

dt m dt m dt

1 ( , )

F t, x ẋ

m 2

INTRODUZIONE 2

⎧ 2 =

d x F 1

⎨ 2

dt m

d y = F

⎩ 2

dt m

2 =

d z F 3

dt m

x(t)

↦

e una soluzione di tale EDO è un moto secondo tale legge

t y(t)

z(t)

Considero ora il moto di un punto mobile (di massa 1) in campo gravitazionale costante,

= (0, 0, −g) > 0 = 1

T

ovvero , e

F g m ⎧ = 0

ẍ

⎨ = 0

⎩

ÿ

= −g

z̈ (0)

x(0) ẋ

(0)

con posizione iniziale e velocità iniziale

y(0) ẏ

(0)

z(0) ż

= 0 ⇒ (t) − (0) = 0 ⇒ (t) = (0)

(s)ds =

∫ per ogni

ẍ ẋ ẋ ẍ ẋ ẋ t

t t

− = (0)t ⇒ = (0)t +

(s)ds = =

∫ ∫ per ogni

x(t) x(0) ẋ ẋ x(t) ẋ x(0) t

x(0)ds

0 0

= (0)t +

Analogamente

y(t) ẏ y(0)

= −g ⇒ (t) = (0) − ⇒ = − + (0)t +

z̈ ż ż g(t) z(t) t ż z(0)

⎧ = (0)t +

x(t) ẋ x(0)

⎨ soluzione

= (0)t +

⎩

y(t) ẏ y(0)

= − + (0)t +

z(t) t ż z(0)

Il moto di un punto mobile in un campo gravitazionale costante è un’EDO detta

∫

′ = = +

equazione di Newton, ed è del tipo con

y f(x) y(x, c) f(x)dx c

integrale generale

Definizione EDO a variabili separabili R

′ = : → :

Chiamo EDO a variabili separabili un’EDO del tipo con e

y f(x)g(y) f I g

R R

→ ⊆

( intervalli e funzioni continue in e . Il problema di Cauchy

J I, J f, g I J

diventa

INTRODUZIONE 3

{ ′ =

y f(x)g(y)

) =

y(x y

′ dφ

∈ ↦ ∃ (x) =

soluzione del problema di Cauchy significa che ,

x I φ(x) f(x)g(φ(x))

′ ′ 0

∀x ∈ ⊂ ∈ int ) = ∈ int

e e inoltre (anche )

I I x I φ(x y y J

0 0 0

Teorema

∈ ∈ )

Se , allora il problema di Cauchy

f C(I) g C(J { ′ =

y f(x)g(y)

) =

y(x y

0 R

′ ′

∃ ⊂ : ∃! : →

ammette sempre s

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