Analisi matematica 1 - Definizioni e Dimostrazioni per Prova Teorica

DOMANDE ANALISI

1. Enunciare e dimostrare il criterio del rapporto per serie a termini positivi
2. Fornire la definizione di integrale improprio per funzioni continue in un intervallo limitato (a, b]. Enunciare il criterio del confronto e del confronto asintotico per tale integrale.
3. Dimostrare che se il limite di una successione esiste, questo è unico
4. Dimostrare che se lim n→+∞ an = a e lim n→+∞ bn = b allora lim n→+∞ an + bn = a +b.
5. Fornire la definizione di raggio di convergenza di una serie di potenze ed enunciare il Teorema sul raggio di convergenza.
6. Provare la formula di derivazione della funzione inversa. nell'intervallo [a, b]
7. Fornire la definizione di integrale improprio per funzioni continue+∞). Enunciare il Criterio del confronto e del confronto asintotico per tale integrale. Simile a (12)
8. Provare che una serie a termini non negativi risulta convergente oppure divergente.
9. Enunciare e dimostrare il Teorema

1. Enunciare e dimostrare il Teorema della media integrale
2. Provare che ogni insieme A ⊆ ℝ non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore finito.
3. Fornire la definizione di serie numerica convergente e divergente. Enunciare i noti criteri di convergenza per serie numeriche a termini non negativi.
4. Provare che ogni funzione derivabile in un punto è ivi continua.
5. Dimostrare che se (an)_n∈ℕ ha ordine di infinito minore di (bn)_n∈ℕ e (bn)_n∈ℕ ha ordine di infinito minore di (cn)_n∈ℕ allora (an)_n∈ℕ ha ordine di infinito minore di (cn)_n∈ℕ.
6. Dimostrare che se lim_n→+∞ an = a e lim_n→+∞ bn = +∞ allora lim_n→+∞ an + bn = +∞.
7. Fornire la definizione e la caratterizzazione di estremo superiore finito ed infinito di un sottoinsieme non vuoto di numeri reali. ∈
8. Utilizzando la definizione ed i limiti notevoli, provare che per ogni x ℝ la derivata di f(x) = cos x.

1. e f 0 (x) = − sin x.
2. Fornire la definizione di funzione derivabile e l’interpretazione geometrica.
3. Enunciare il Principio di induzione ed utilizzarlo per provare che per ogni x ≥ −1 e n ∈IN risulta (1 + x) n ≥ 1 + nx.
4. Fornire la definizione di somma parziale di una serie, di serie convergente e divergente.
5. Una serie geometrica + X∞ n=0 x n converge se e solo se |x| < 1. Provare che la serie
6. Fornire la definizione di integrale indefinito. Fornire le regole di integrazione per parti e per sostituzione per tale integrale.
7. Fornire la definizione estremo superiore, la sua caratterizzazione e provare il Teorema che ne assicura l’esistenza.
8. Enunciare e dimostrare la Propriet`a Archimedea.
9. Provare che un insieme non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore finito.
10. Teorema di lagrange
11. Teorema di fermat