Analisi empirica dei mercati finanziari

Y Y

. .

Ȳ

uno al crescere di Ciò si indica con → i,

La legge dei grandi numeri afferma che, se le per sono

= 1,...,,

.

Ȳ

indipendentemente e identicamente distribuite con , allora

(i) = →

Y

teorema limite centrale

Il afferma che, per grandi campioni, la distribuzione

]

campionaria della media campionaria standardizzata [(Ȳ − )/ è

Ȳ

Y

approssimativamente normale standard.

1 ()

Si supponga che siano i.i.d., con e

,...,n = Y

13

Per la

→ ∞, distribuzione di (Ȳ − )/ viene approssimata arbitrariamente bene

Ȳ

Y

dalla distribuzione normale standard.

Esercizio 1:

In una popolazione con e In un campione con numerosità si

= 75 = 45. = 50

Y2

Y (Ȳ<73).

usi il teorema centrale del limite per trovare

Esercizio 2:

! Esercizio 3:

Ogni anno, i temporali possono causare danni alle case. Anno su anno, il danno è

casuale. Si indichi con Y il valore in dollari del danno subito in un dato anno. Si

supponga che nel 95% degli anni il danno valga 0$, mentre nel restante 5% degli

anni sia di 20.000$.

a) Quali sono la media e la deviazione standard subita in ciascun anno?

Si consideri ora un’assicurazione congiunta per 120 case, sufficientemente

disperse, così che in ogni anno i danni a case diverse possano essere assunti

indipendenti.

b) Descrivere la distribuzione della variabile aleatoria che descrive il danno medio

alle 120 case ogni anno.

c) Qual è la probabilità che il danno medio superi i 3000$?

14

Esercizio 4: 15

Capitolo 3: Richiami di statistica

La statistica è la scienza che ci permette di conoscere il mondo che ci circonda

attraverso i dati. • Gli strumenti statistici servono per rispondere a domande

riguardanti caratteristiche ignote della distribuzione di popolazioni sulle quali si

incentra il nostro interesse. L’idea fondamentale della statistica è che si possono

16

dedurre informazioni sulla distribuzione di una popolazione scegliendo un

campione casuale da essa.

L’econometria fa pieno uso di tre tipologie di metodi statistici:

stima

• La implica il calcolo di un valore numerico che sia la «migliore congettura»

ricavabile dai dati campionari circa una caratteristica ignota della distribuzione di

una popolazione, come la sua media.

verifica di ipotesi

• La richiede la formulazione di un’ipotesi sulla popolazione e

usa poi l’evidenza campionaria per decidere se questa ipotesi sia vera.

intervalli di confidenza

• Gli fanno uso di un insieme di dati per stimare un

intervallo o un insieme plausibile di valori per una caratteristica ignota della

popolazione.

Stimatori e loro proprietà ,

Supponiamo di voler conoscere il valore medio di indicato con , in una

popolazione. Un modo naturale di stimare questo valore consiste nel calcolare la

Ȳ

media campionaria per un campione di osservazioni i.i.d. La media

Ȳ

campionaria è dunque uno stimatore naturale di , ma non è l’unico. Lo stesso

1

può essere considerato uno stimatore di .

stimatore

Uno è una variabile casuale ed è una funzione di un campione di dati

estratti casualmente da una popolazione, usata per stimare un parametro. La

stima è il valore numerico dello stimatore, quando questo viene calcolato usando i

dati di uno specifico campione. Uno stimatore è una variabile casuale per effetto

della casualità dovuta alla selezione del campione, mentre la stima è un numero.

Il parametro da stimare viene generalmente indicato con una lettera minuscola, lo

stimatore con la stessa lettera, maiuscola, con sopra un cappuccio, la stima con la

stessa lettera, minuscola, e il cappuccio.

Gli stimatori possibili sono molti, ma cosa rende uno stimatore «migliore» di un

altro? Questa osservazione fornisce la necessità di delineare alcune

caratteristiche desiderabili per uno stimatore:

Non distorsione o correttezza (assenza di distorsione)

• Consistenza

• Efficienza

•

Si supponga di calcolare uno stimatore più volte per campioni ripetuti, estratti

casualmente. E’ ragionevole chiedere di ottenere, in media, la risposta giusta.

Quindi, una caratteristica desiderabile di uno stimatore è che la media della sua

distribuzione campionaria sia uguale alla media della popolazione ; quando

stimatore non distorto o corretto.

questo avviene, si dice che lo è Si chiama

distorsione dello stimatore la differenza tra la sia media e il parametro che si vuole

^

stimare. Da un punto di vista matematico, sia uno stimatore di , la

distorsione allora è (^ ) − . Tale stimatore, è non distorto (corretto), se (^ )

^ ^

= , dove (^ ) è la media della distribuzione campionaria di ; altrimenti,

è distorto. ^

Un’altra proprietà desiderabile di uno stimatore è che, quando il campione è

grande, l’incertezza circa il valore di derivante da deviazioni casuali sia molto

17

^

piccola. Ovvero, la probabilità che assuma valori in un piccolo intorno del vero

valore di tenda a 1 al crescere della dimensione campionaria. In questo caso, si

stimatore consistente

dice che lo stimatore è uno di . Questo significa che se

uno stimatore è consistente se all’aumentare di sia la distorsione che la varianza

tendono a zero. ^ ~

Si supponga di avere due stimatori e , entrambi non distorti. Come

scegliere? Una possibilità è quella di scegliere lo stimatore con distribuzione

campionaria più concentrata (meno dispersione). Quindi, dovremo scegliere quello

^ ~ ^

con varianza minore. Se ha varianza minore di , allora si dice che è più

~ ^ ~

efficiente di . Infatti, se ha varianza minore di , allora esso usa

~

l’informazione contenuta nei dati in maniera migliore di quanto faccia .

In termini di efficienza, si può dimostrare che la media campionaria (Ȳ) è il migliore

Ȳ

stimatore lineare non distorto (BLUE – Best Linear Unbiased Estimator); cioè, è

lo stimatore più efficiente di tra tutti gli stimatori non distorti ottenuti come

1, .

media ponderata di … ,

Ȳ è lo stimatore dei minimi quadrati di .

Ipotesi nulla e ipotesi alternativa

Il punto di partenza della verifica di ipotesi statistiche è la specificazione

dell’ipotesi da verificare, detta ipotesi nulla (0). La verifica di ipotesi richiede l’uso

dei dati al fine di confrontare l’ipotesi nulla con una seconda ipotesi, detta ipotesi

alternativa (1), che è valida se la nulla non lo è.

(),

nulla

L’ipotesi (0) prevede che la media di nella popolazione, assuma un

valore specifico, indicato con . L’ipotesi nulla risulta dunque essere:

,0

0

: () = ,0

()

alternativa

L’ipotesi (1) più generale è che ≠ . Essa è detta ipotesi

,0

()

alternativa bilaterale, prevede infatti che possa essere minore o maggiore di

.

,0

18

Il problema che gli statistici affrontano è quello di utilizzare l’evidenza empirica,

fornita da un campione selezionato casualmente, al fine di stabilire se accettare

l’ipotesi nulla oppure rifiutarla in favore dell’ipotesi alternativa. Quando si «accetta»

l’ipotesi nulla, questo non vuol dire che essa sia vera; piuttosto, essa è

provvisoriamente accettata con l’intesa che potrebbe essere rifiutata nulla

successivamente alla luce di evidenza addizionale. In altre parole, l’ipotesi

vera fino a prova contraria.

viene supposta Per questa ragione, la verifica di

ipotesi statistiche può dar luogo sia al rifiuto dell’ipotesi nulla, sia all’impossibilità

di rifiutarla.

Dato un campione, la stima della media campionaria ȳ molto difficilmente risulterà

esattamente uguale al valore ipotizzato . Le differenze tra ȳ e possono

,0 ,0

essere conseguenza sia della possibilità che la vera media non sia in realtà uguale

a (l’ipotesi nulla è falsa), sia della possibilità che la media sia effettivamente

,0

uguale a (l’ipotesi nulla è vera), ma che ȳ differisca comunque da a causa

,0 ,0

del campionamento casuale.

p-value dei test

Sebbene un campione di dati non possa fornire evidenza conclusiva a favore

dell’ipotesi nulla, è possibile effettuare un calcolo probabilistico che permetta di

sottoporre a verifica l’ipotesi nulla in modo da tenere conto dell’incertezza

derivante dal campionamento. Questo calcolo prevede l’uso dei dati per ottenere il

valore- dell’ipotesi nulla.

valore-

Il (-value), detto anche livello di significatività osservato, è la probabilità

di ottenere una statistica che sia sfavorevole all’ipotesi nulla almeno quanto quella

calcolata per mezzo del campione, assumendo che l’ipotesi nulla sia corretta.

Ȳ

Rappresenta dunque la probabilità di ottenere un valore di che, sotto l’ipotesi

nulla, sia lontano nelle code della distribuzione almeno quanto la media

campionaria effettivamente calcolata.

-value Ȳ

Per calcolare il è necessario conoscere la distribuzione campionaria di

sotto l’ipotesi nulla. Tale distribuzione però spesso è complicata in piccoli

campioni. Tuttavia, in base al teorema limite centrale, in grandi campioni la

Ȳ

distribuzione campionaria di è ben approssimata da una distribuzione normale. •

L’approssimazione normale, valida per grandi campioni, permette di calcolare il

valore- del test, senza che sia necessario conoscere la distribuzione di nella

popolazione.

Varianza campionaria ed errore standard

varianza campionaria

La S è uno stimatore della varianza della popolazione ;

2 2

deviazione standard campionaria

la S è uno stimatore della deviazione standard

Ȳ

della popola