Analisi della deformazione

Analisi della Deformazione

Corpo continuo: insieme di infiniti punti materiali che possono essere mossi in corrispondenza biunivoca con un regione regolare dello spazio.

_B = conformare di riferimento (indeformata)

Ogni punto materiale può essere identificato con un punto di _{B, P}

{ } _{sist. cart. X1, X2, X3}

_{e1 e2 e3 → base ortonormale}

Vettore posizione del punto _{P: X = P - O}

Forma cartesiana: _{X = X1e1 + X2e2 + X3e3}

X₁ = X·e₁ X₂ = X·e₂ X₃ = X·e₃

(Coordinate cartesiane di X, Prodotto scalare)

Notazione indiciale: X = _∑(i=1)^3 X_ie_i

Indici ripetuti (muti)

Deformazione

Deformazione rispetto alla configurazione _B :

Trasformazione _χ che ad ogni punto _{P ∈ B}, di vettore posizione _{X = P - O}, associa un punto _{P' ∈ B'}, di vettore posizione _{X' = P' - O}.

_{B → B'} configurazione deformata.

X' = χ(X) → 3 eq. scal.

X_i' e₁ X' e₂ X' e₃

X₁' = λ₁(X)' X₂'X₃' = λ₂(X) = λ₃(X)

(Funzione vettoriale (campo), Forma assoluta)

(X_i' = X₁(X₁, X₂, X₃) etc...)

Vettore spostamento: per def. _{u (X) = X'(X) - X}

Forma assoluta

u_{(X) = X'(X) - X}

u_i (X) = X_i' (X₁, X₂, X₃) - X₄

u₂(X) = X₂(X₁, X₂, X₃) - X₁

u₃(X) = X₃(X₁, X₂, X₃) - X₃

(Forma quadrata)

Rrestrizioni matematiche per _χ(X)

1. _χ(X) Biunivoca → Frattura, compenetrazione

X = X(1) ad un solo valore

F_P Frattura Compenetrazione esclusi

ANALISI DELLA DEFORMAZIONE

Corpo continuo: insieme di infiniti punti materiali che possonoessere mossi in corrispondenza biunivoca con una regione regolare dellospazio.

B = configurazione di riferimento (indeformata)

ogni punto materiale può essere identificato con un punto di B_P

{ } sistema cartesiano

e₁ e₂ e₃ → base ortonormale

Vettore posizione del punto P: X_P = P - O

Forma cartesiana X = X₁e₁ + X₂e₂ + X₃e₃

Notazione indicale X_ie_i

DEFORMAZIONE

Deformazione rispetto alla configurazione B :

• Trasformazione x che ad ogni punto P del B , di vettore posizione x_i = P - 0, associa un punto P’ e B’ , di vettore posizione x’ i = P’ - 0,

Vettore spostamento: per def. u(X) = x(X) - X

u₁(X) = x₁(X)

u₂(X) = x₂(X)

u₃(X) = x₃(X)

Restrizioni matematiche per x(X)

1) x(X) BIUNIVOCA → FRATTURA, COMPENETRAZIONE.

x = x^-1 (x’) ad un solo valore

2) χ̅ e χ̅⁻¹ funzioni continue, si evitano bruschi salti nelle deformazioni.χ̅ A → B ⇒ A' → B'A → B ⇔ A' → B'χ̅⁻¹

3) χ̅ᵢ ( x̅ ) differenziabili, continue con le derivate parziali di I ordine, rispetto ai diversi argomenti.∂χ̅ᵢ_∂x̅j (i, j) ∈ ℰ 1, 2, 3

ANALISI LOCALE DEFORMAZIONE

Analisi deformazione GLOBALE LOCALEAnalisi localeI( P )χ̅ P → qdxOq'_χ̅(x̅)χ̅( x̅ + dx̅ )

Se tutti i punti di I( P ) subiscono la stessa deformazione χ̅( x̅ ) ⇒ allora I( P )TRASLA SENZA DEFORMAZIONII'^χ̅( P )χ̅*( P )dx'P'1

χ̅( x̅ + dx̅ ) − χ̅( x̅ )

Sviluppo Taylor χ̅( x̅ + dx̅ )χ̅ᵢ( x̅ + dx̅ ) = χ̅ᵢ( x̅ ) + ∑_j=1³ ∂χ̅ᵢ_∂x̅j( dx_j ) + O_i( ||dx̅|| )i = 1, 2, 3_{I ordinelim||dx̅||→0} ^{O_i( ||dx̅|| )}_||dx̅|| = 0

Linearizzazione :χ̅ᵢ( x̅ + dx̅ ) ≃ χ̅ᵢ( x̅ ) + ∑_j=1³ ∂χ̅ᵢ_∂x̅j d_xj → χ̅ᵢ( x̅ + dx̅ ) − χ̅ᵢ( x̅ ) ≃ ∑_j=1³ ∂χ̅_i∂x̅j d_xj

χ̅ᵢ( x̅ + dx̅ ) − χ̅ᵢ( x̅ ) ≃ ∑ _j=1³ ∂χ̅_i∂x̅j dx_j → dx' = F dx̅ tensore

dove F gradiente della deformazioneF_ij = e_i ⋅ F_ej = ∂χ̅_i∂x̅_jF = ∇χ̅

Forma assoluta

dx^i' = F dxⁱ trasformazioni lineari

dx^i' = _i=1³_j=1³ F_ij dx_j

• dx^1' = _x1 dx₁ + _x2 dx₂ + _x3 dx₃
• dx^2' = _x1 dx₁ + _x2 dx₂ + _x3 dx₃
• dx^3' = _x1 dx₁ + _x2 dx₂ + _x3 dx₃

Segmenti rettilinei si trasformano in segmenti rettilineiElementi superficiali piani ⇒ elementi superficiali piani

• _{x1 x1 x1}
• _{x2 x2 x2}
• _{x3 x3 x3}

u_i(x + dx) = u_i(x) + ∇u_i |_x dx + O(||dx||²)

u_i(x + dx) - u_i(x) ≃ ∇u_i dx

∇u_i: GRADIENTE DELLO SPOSTAMENTO

du_i = ∇u_i dx

du_i = ∇u_i dx

∇u_ij = e_i ∇u_i e_j = _ui

u_i(x) = χ_i(x) - x_i(i = 1, 2, 3)

χ(x) = x + u(x) ⇒ χ_i = x_i + u_i

F_i3 = _xi = _{xi + ui} = _xi + _ui - _ij + _ui

F_i3 = _ij + _ui

dx^i' = F dxⁱ

F = 1 + ∇u_i

dx^i' = F dx_i

dx^i':o F dx = 0 ⇒ det F ≠ 0

B¹→B X^-1→X (u = 0) F_ij = _ij + _ui - _ij

t ∙ o det F = det F = 1