Analisi della deformazione- parte 2

ANALISI DELLA DEFORMAZIONE

Immaginiamo il corpo B (deformabile) che occupa e si identifica con una regione tridimensionale dello spazio euclideo E, questa regione di spazio B₀ limitata ha un contorno, significa che in tutti i punti si potrebbe collocare il piano tangente (piano osculatore) con la normale n₀ uscente.

1. B, corpo B in queste condizioni prende il nome di CONFIGURAZIONE DI RIFERIMENTO (iniziale o naturale) dove non vi è applicato nessun carico.

2. In seguito all’applicazione di carichi questo corpo B si deforma e raggiunge, mediante una legge di deformazione, una funzione f^*, la CONFIGURAZIONE DEFORMATIA O (ATTUALE) del corpo B^*.

3. Si può studiare la deformazione attraverso lo studio della deformazione di tutti i punti, in cui associazino ad ogni punto della configurazione di riferimento X associamo un punto X diella configurazione deformatia o attuale.

Fissando un sistema di riferimento: x_i = f_i ( X_I ) (i = 1,2 d 1,2,3)

• x₁ = f₁ ( X₁, X₂, X₃ )
• x₂ = f₂ ( X₁, X₂, X₃ )
• x₃ = f₃ ( X₁, X₂, X₃ )

4. f è una FUNZIONE VETTORIALE A 3 componenti (f₁, f₂ i f₃) che opera, che posso pensare, su 3 componenti variabili reali (componenti dei scala) x₁, x₂, x₃

5. B^* = f(B), f (di B) non è altro che l’immagine del corpo B in seguito al processo ai deformazione della funzione f.

1) la "f" non può essere generica, ma deve possedere delle proprietà

matematiche che si riflettono dei requisiti di PLAUSIBILITÀ FISICA:

Dal punto di vista matematico "f" deve essere:

• biiettiva (in particolare INIETTIVA) con una corrispondenza (one to one)
• BICONTINUA (f continua con la sua inversa f^-1) e regolare per quanto

Interpretazione degli assiomi dal punto di vista fisico, attraverso i principi.

3) PRINCIPIO DI IMPENETRABILITÀ DELLA MATERIA:

• A punti distinti di B corrispondono punti distinti di B^*
• 3)

• NO FUSIONI

• INIEZIONE VIOLATA
• NO AUTOCONTATTO
• 4) PRINCIPIO DI NON LACERAZIONE DELLA MATERIA:

chiede che la f ha

biglietta sign. escludere

questi comportamenti

La deformazione in Teoria Lineare lascia inalterati gli enti geometrici: (punto , retta , piano vettore) NON CAMBIANO

* CAMBIANO le direzioni e le grandezze saranno diverse da quelle della configurazione di riferimento.

PARAMETRI DI MISURA DELLA DEFORMAZIONE: (TEORIA NON LINEARE)

Grandezza di immediato significato fisico: immagino per misurare localmente la deformazione, infatti ora voglio sapere come cambia la figura in questa direzione o grandezza.

1. COEFF. di DILATAZIONE LINEARE in X secondo la direzione m̂_o

   Coeff. = lunghezza direzione m̂_o nel punto X

   • CONTAGIO INTERNEC

   • m̂_o

   • dX = dl(m̂_o)

ε^m̂_o(X) = dL-dl/dL

INDIVIDUA DI QUANTO LA FIBRA SI ACCORCIA O SI ALLUNGA

ε^m̂_o(X) dl/dL - 1 = 1/2 (FTF m̂_o)² - 1

* Se ε^m̂_o(X) = 0 -> dl = dL non vi è DEFORMAZIONE

* Se ε^m̂_o(X) > 0 -> dl > dL (allungamento)

* Se ε^m̂_o(X) < 0 -> dl < dL (accorciamento)

Nota la F possono calcolarsi:

Il valore di accorciamento o allungamento: 2D+1

FFT = B * =

2. INCREMENTO D: TENSORE DI DEFORMAZIONE FINITA (TENSORE DI GREEN)

   (TEORIA NON LINEARE DELLE GRANDI DEFORMAZIONI)

D = 1/2 (FTF - I)

ε^m̂_o(X) = dl/dL - 1 = √2D*m̂_o*m̂_o+1 - 1

D = FTF ∈ Sym

-1 è compreso tra -1 e +∞

3) Il TENSORE E di deformazione infinitesima scritto in forma matriciale

E = 1/2 (H + H^t)

eq di congruenza esSym

E =

• E₁₁
• E₁₂
• E₁₃
• E₂₁
• E₂₂
• E₂₃
• E₃₁
• E₃₂
• E₃₃

E_ij = 1/2 (∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i)

E₁₁, E₂₂, E₃₃ sono i COEFFICIENTI DI DILATAZIONE LINEARE LUNGO le DIREZIONI coordinate e₁, e₂, e₃, esprimono la deformazione lungo queste direzioni Mentre I termini fuori diagonale, si riferiscono a come le fibre si deformano tra loro (nelle direzioni i, j) oss ad es 1 - 2, 1 - 3 … significano quei scorrimenti mutui chiamati γ

4) Come per la Tensione T, anche per E è possibile individuare le direzioni principali di deformazione (e₁, e₂, e₃) lungo le diagonali principali sedi individuano i PIANI PRINCIPALI DI DEFORMAZIONE, dove non ci sono scorrimenti mutui o variazioni angolari, ma solo DILATAZIONI Su tali piani (quelli principali) le FIBRE si allungano o si accorciano

5) Anche per E sarà possibile ricercare gli AUTOVALORI (λ) e AUTOVETTORI (M), quindi ricercheremo quei piani PRINCIPALI DI DEFORMAZIONE in cui avremo solo la DILATAZIONE nelle direzioni e₁, e₂ ed e₃. ossia principali di deformazione

6) lo studio è applicando anche per E il TEOREMA SPETTRALE

E_m = λ_{m d1, d2, d3 = cost + un sistema di riferimento principale nelle deformazioni}

(E_m - I) m = 0

Per regola euristica vale che il ROT di un gradiente o della divergenza, è sempre nullo

Sign. Rotore:

1. Deccare la rotazione rigida infinitesima di un campo vettoriale tridimensionale
2. Se rot u(x) = 0, è situato in un campo irrotazionale

In una assegnata terna di rif., O_x1, O_x2, O_x3, le componenti dei vettori associati sono nulli (v₁,v₂,v₃)

EQUAZIONI DI CONGRUENZA = (_∇u=H, E) (spostamenti→deformazioni) determiniano gli spostamenti del corpo deformato lungo le 3 direzioni

EQUAZIONI COSTITUTIVE = (_N,T,H) (deformazioni→sollecitazioni) interessa il materiale di cui è costituita la nostra trave, caratteristiche meccaniche dei materiali entrano in gioco con le LINEE ELASTICHE