Analisi bidimensionale

Analisi bidimensionali: la correlazione

Correlazione è il legame lineare tra due variabili quantitative. Relazione tra due fenomeni quantitativi: se c’è una relazione lineare tra le due variabili oggetto di studio, parliamo di correlazione. Se c’è correlazione, allora di quanto variano i valori di una variabile quando cambiano i valori dell’altra? Per rispondere a questa domanda affrontiamo il problema nell’ambito della regressione.

Esempio di relazione tra reddito e impresa

Questo esempio riguarda la relazione tra reddito ed impresa su un insieme di 13 famiglie. Vogliamo vedere se esiste una relazione lineare tra questi due dati. Nelle ultime due colonne sono state riportate gli scostamenti dalla media di ciascuna variabile. Ci accorgiamo che a spostamenti negativi di una variabile corrispondono scostamenti negativi dell’altra variabile, oppure a scostamenti positivi di una variabile corrispondono scostamenti positivi dell’altra variabile.

Diagramma di dispersione

Per meglio comprendere questa relazione, guardiamo il diagramma di dispersione. I punti sono determinati dalle coppie di modalità delle due variabili. Sovrapposto a questo piano cartesiano c’è un nuovo sistema di origine che è individuato in corrispondenza dei valori medi delle due variabili. Vediamo sostanzialmente che i punti si dispongono nella maggior parte dei casi nel primo e nel terzo quadrante, qualcuno sta al di fuori, ma è una minoranza. Ciò ci porta a concludere che tra le due variabili esiste una relazione ed è di tipo diretta: all’aumentare di una aumenta anche l’altra.

Se si fosse verificato che la maggior parte dei punti si fosse collocata nel secondo e nel quarto quadrante, avremmo detto che la relazione esiste, ma è di tipo inversa.

Covarianza

Questo è un primo sistema per verificare se effettivamente esiste o no una relazione tra le due variabili. L’indice che riassume questo tipo di informazione è la covarianza. Al numeratore troviamo la somma dei prodotti degli scostamenti rispetto alla media di ciascuna variabile diviso n. Dunque, abbiamo fatto una media aritmetica dei prodotti degli scostamenti.

• COV(X,Y) > 0: Relazione lineare diretta
• COV(X,Y) < 0: Relazione lineare inversa
• COV(X,Y) = 0: X, Y incorrelate

Non vuol dire che le due variabili sono indipendenti, ma che non esiste una relazione di tipo lineare. Potrebbe significare o che veramente non esiste nessun tipo di relazione, o che esiste una relazione, ma che non è di tipo lineare.

Proprietà della covarianza

• È un indice simmetrico, cioè COV(X,Y) = COV(Y,X) scambiando la X con la Y.