Analisi 1 - Parte 3

12.10.2023

Funzioni infinite e infinitesime confronti

Definizioni: Sia f una funzione reale e x₀ un punto(finito o infinito)

f è infinita o infinitesima (in x₀) se,se:

• x → x₀
• f(x) = 0
• f è infinita
• f è infinitesima

Esempio:

• y = e^x
• è infinita se x → ±∞
• è infinitesima se x → -∞

• y = ln(x)
• è infinita quandox → +∞ o 0+
• è infinitesima quandox → 1

Definizione di confronto tra infiniti e infinitesimi:

Siano f e g due infiniti o due infinitesimiper x che tende a x₀ finito o infinito.

Diciamo che f è infinito oppure infinitesimodi ordine superiore a g se:

• lim x → x₀ f(x)/g(x) = +∞
• ∞/∞ è infinito
• 0/0 è infinitesimo

Oppure diciamo che f è infinito/infinitesimo dello STESSOORDINE di g se:

• lim x → x₀ f(x)/g(x) = l ≠ 0(l numero intero)

02.10.2023

Funzioni infinite e infinitesime confronti:

Definizioni: Sia ƒ una funzione reale e con "x₀" un punto (finito o infinito)

ƒ è infinita o infinitesima in "x₀" se,

lim _x→x0 ƒ(x) = ±∞

è infinita

lim _x→x0 ƒ(x) = 0

è infinitesima

Esempio:

• ƒ(y) = e^x

• è infinita se x → ±∞
• è infinitesima se x → -∞

• g(x) = ln (x)

• è infinita quando la x → ∞ o x → 0⁺
• è infinitesima quando la x → 1

Definizione di confronto tra infiniti e infinitesimi:

Siano ƒ e g due infiniti o due infinitesimi (per x che tende a x₀ finito o infinito)

Diciamo che ƒ è infinito oppure infinitesimo di ordine superiore a g se

lim _x→x0 ƒ(x)/g(x) = ±∞

Oppure diciamo che ƒ è infinito/infinitesimo dello stesso ordine di g se

lim _x→x0 ƒ(x)/g(x) = l (≠0)

l ∈ N

numero intero

Esercizio:

Sia x₀ = +∞

• f(x) = e^-x2 + x⁴ - ln(x)
• g(x) = 3 ln(x) + x⁵

1. Dire se f^∞ e g^∞ sono o no infinite in x₀.
2. Se lo sono confrontarle.

• lim (x → +∞) (e^-x2 + x⁴ - ln(x)) = e^+∞
• = 0 + +∞ + ∞^? = +∞
• lim (x → +∞) (3 ln(x) + x⁵) = +∞ + +∞ = +∞

Faccio il confronto:

• lim (x → +∞) (3 ln(x) + x⁵) / (e^-x2 + x⁴ - ln(x)) = +∞ / +∞
• = ((3 ln(x) + x⁵) / x⁴) = +∞ + +∞

g(x) è di ordine superiore a f(x)

Indecisioni:

[ ∞ - ∞ ] , [ 0 / 0 ] , [ ∞ / ∞ ] , [ ∞⁰ ]

Non sono indecisioni:

[ 0 / ∞ ] ↓ = 0 , [ ∞ / 0 ] ↓ = ∞

Confronto tra infinitesimi

Siano f e g infinitesimi in x₀ (finito/infinito)f è un infinitesimo di ordine superiore a g

- Se g / f → ∞ - f / g → 0

Esempio:x₀ = 0f(x) = xg(x) = x²

limx → 0x = 0

limx → 0x² = 0

Faccio il confronto:limx → 0f(x) / g(x) = x / x² = [ 0 / 0 ] = 1 / x = 1 / 0 → ∞

"g" è infinitesimo di ordine superiore a "f"

Esempio:

x₀ = 0

f(x) = x

g(x) = x² + 3x

lim x → 0

lim x → 0

Faccio il confronto:

lim f(x)x → 0g(x)

lim xx → 0 x² + 3x

x(x + 3)

=x =x + 3(x + 3)

=10 + 3

=13

"g" è infinitesimo allo stesso ordine di "f".

lim f(x)x → +∞g(x)

lim xx → +∞ x² + 3x

=x3x

=13

Elimino la potenza più piccola perché la x → +∞

f(x) = x ; g(x) = sen(x)

x₀ = 0

lim sen(x) = 0x → 0

lim x = 0x → 0

f e g sono infinitesime in x = 0

x è infinitesima quando x → 0proietti o la bisettrice il e³quindi y = x e quindiy = 0 e x ≈ 0

Limite Notevole

lim_x→0 ^f(x)/_g(x) = lim_x→0 ^x/_sen(x) = ⁰/₀ ≈ 1

Significano la stessa cosa

x ≈ 1 con x ≈ 0

^sen(x)/_x ≈ 0

Perché ^x/_sen(x) per x→0 oscilla?

Qualsiasi cosa che è circa zero, è uguale al seno di quella qualcosa così

lim_x→+∞

Lo perdi: ^sen(∞)/_∞ = ⁰/_∞ = 0

Esercizio:

lim_x→+∞ x · sen(¹/_3x) = ∞ · sen(¹/_∞) = ∞ · sen(0)

= 0 ·1 = 0

^sen(1/_3x)/_¹/x = 1

lim_x→+∞ ¹/₃ = 0

Ho moltiplicato 10 e 3 sopra e sotto a x per ottenere la stessa velocità del seno (a modo di uni diversa "n")

Esercizio:

lim_x→+∞ ^e3xsen(e-3x) ⁄ _e^3x = ^3∞ ⁄ _3^∞ = ^±∞ ⁄ _{sen(e^±∞±∞)}

grafico:

↓

lim_x→+∞ ^sen(e-3x) ⁄ _e^-3x = ⁰ ⁄ _∞ = 0

Quindi:

^sen(e-3x) ⁄ _x→+∞ ⋅ e^3x

Esercizio:

lim_x→+∞ e^-3xsen(e^3x) = e^-∞ sel(e^∞) = 0⋅sen(±∞)

E un numero che si trova tra -1 e 1

= 0: [-1, 1] = 0

17.10.2023

QUANDO:

lim_x->x0 f(x) = 0

lim_x->x0 f(x) = 1

Se: lim_x->x0 f(x) = 0

I LIMITI NOTEVOLE:

lim_x->0 (1 - cos(x)) / x² = 0/0

(1 - cos(x))(1 + cos(x)) = 1 - cos²(x)

^sen(x)/_x * 1/(1 + cos(x)) = 1/2

lim_x->0 (sen(x) / x) = 1

QUINDI:

lim_x->0 (sen(x) / x) * (1/(1 + cos(x)))² = 1/2

QUINDI:

1 - cos(x) ≈ x² / 2

x ≈ 0

REGOLA:

1 + cos(llll) / (llll)² ≈ 1/2

llll ≈ 0

y = 1 - cos(x)

y = x² / 2

y = 1 - cos(x)