Analisi 1 - Appunti

Funzioni

Il concetto di funzione svolge un ruolo cruciale in tutte le branche della matematica e nei contesti in cui essa trova applicazione. In questi ultimi, laddove nello studio di un dato fenomeno più grandezze soggette a variazioni possano essere misurate, il concetto di funzione interviene mettendo in relazione il valore di una di queste con il valore di una o più delle rimanenti. In questa dipendenza di una grandezza variabile da altre variabili, la relazione che interviene a costruirla si manifesta attraverso una legge in grado di descrivere in termini quantitativi l'andamento del fenomeno caratterizzato dalla variazione di tali grandezze. La creazione di un'adeguata matematica tramite una legge consente quindi di comprendere vari aspetti del fenomeno analizzato e descritto.

Ad esempio, è evidente che il prezzo di un bene di mercato o di una prestazione varia nel tempo cioè dipende dal tempo; l'analisi di questa dipendenza permette di cogliere informazioni molto utili nell'andamento dei prezzi. Alcuni modelli microeconomici si basano pertanto su assumere...

un prezzo in funzione del tempo, attraverso varie leggi matematiche.

Nella descrizione quantitativa dei processi produttivi, la quantità di prodotto finale (output) dipende dall'impiego delle risorse scarse (input) necessarie alla sua realizzazione. Esistono varie leggi che esprimono la quantità di output prodotto in funzione delle quantità di input impiegate.

Nella teoria del consumatore, il livello di felicità o gradimento dipende dalle possibilità offerte di diversi beni, secondo una legge nota come funzione di utilità (branch ofelimità) del soggetto consumatore.

la funzione g: P → R è formalmente diversa da f perché ha un dominio differente da quello di f, anche se è definita dallo stesso legame g(x) = x².

In questo caso si ha: g^-1(0) = {0}; g^-1(1) = {1}; g^-1(-1) = ∅

La seguente definizione introduce alcune proprietà fondamentali di cui possono godere le funzioni definite su insiemi arbitrari:

DEFINIZIONE

Dati due insiemi non vuoti A e B, una funzione f: A → B è detta:

• INIECTIVA se ∀ a₁, a₂ ∈ A implica f(a₁) ≠ f(a₂) (o equivalentemente f(a₁) = f(a₂) implica a₁ = a₂);
• SURIETTIVA se ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A t.c. b = f(a);
• BIETTIVA se ∀ b ∈ B ∃! a ∈ A t.c. b = f(a).

OSSERVAZIONE È utile notare che:

1. f è iniettiva se e solo se ∀ b ∈ f(A), l'insieme f^-1({b}) possiede un unico elemento: {a}.