Analisi 1 - 6-6 Integrali indefiniti in senso generalizzato e serie

INTEGRALI IMPROPRI O IN SENSO GENERALIZZATO

Per semplicità solo int. in senso generalizzato di∫ NON NEGATIVA f(x) ≥ 0

Fin qui → int. def. ∫_a^bf(t)dt

• [a,b] intervallo limitato
• f limitata

f ≥ 0 ∫_a^bf(t)dt = Area (T) dove T è unaregione del piano limitato

Ora → int. in senso generalizzato

• NON SERVE [a,b] limitato
• NON SERVE f limitata

(a,b) ⊂ R

∫ limitata o illimitataper es. con a, b∉ R

GRAFICAMENTE

es. ∫_a^bf(t)dtT = regione del piano illimitatabase illimitataaltezza illimitata

OBIETTIVI

1. calcolare area di regioni illimitate
2. determinare criteri (cond. necessarie e cond. sufficienti) affinché tali aree siano finite

CASO 1 Integrale improprio (o generalizzato) di ∫_a^b in (a, ∞)

Data f : [a,∞[→[0,∞[ supponiamo f integrabile in[a,X] ∀X∈a e definiamo integrale improprio o in senso generalizzato (s.g.) di f in [a,∞[

I = lim ∫_a^Xf(t)dt

se I∈ R si dice integrabile in s.g. in [a, ∞[ o chel'integrale in s.g. di f in [a,∞[ converge

se I = +∞ si dice integrabile in s.g. in [a,∞[ o chel'integrale in s.g. di f in [a,∞[ diverge

SIGNIFICATO GEOMETRICO

I = ∫_a^Xf(t)dt = Area (Tx) con un certo X fissato

Area (t)_alimX Area (TX)

Relazione Kera = lim × si g. in lato con la l'area integrale di centro a

∫_a^bf(t)dt = Area T lim ∫ π(t) × F(x)

f int. in s.g. lim_x→+∞ F(x) = I ∈ ℝ (⇔ ∫^y_x = I as. oriz. a ∞ da)

f non int. in s.g. lim_x→+∞ F(y) = +∞

f ≥ 0 ⇒ F è sempre ≥ 0 e crescente Quindi lim_x→+∞ F(x) = I

I > 0 per la permanenza del segno

I = 0 se f > 0 ∃ sempre che x₀ > 0 o +∞

Dim. ∫yx V ∀ x1 < x2 ⇒ F(x) = ∫x2x1 f(t)dt + ∫x10 f(t)dt + ∫x20 f(t)dt

F(x) ⇒ crescente

RILEVANZA APPLICATIVA DELLO STUDIO DEI CRITERI DI CONVERGENZA DELL'INTEGRALE IN SENSO GENERALIZZATO

Nelle applicazioni hanno un ruolo fondamentale delle funzioni integrali, come ad es. F₂(x) = ∫^∞_−itx cos (t²) dt ∫^∞_−∞ (otica)

Esempio di calcolo:

1. ∫^∞₁ arctan(t)/(1+ t²) = 1 ² + arctan()

2. f(t) > 0 in [1, +∞] arctan continua

3. ∫^∞₁ arctan()/(1+ t²)+ arctan(x²)

4. ∫^∞₁ f(t) dt = 1

5. I₁ = lim ∫^x→+∞(arctan(x) +1 + x²) √(1 + x² - 4))>√

NB ⇒ non dimenticare 〖2〗

CRITERI DI CONVERGENZA PER L'INTEGRALE IN S.G. IN [,+∞[

CONDIZIONE NECESSARIA

Data f ∈I[,+∞[⟺Se f ∉ Int. in s.g.: [,+∞[ed lim f(x) = 0

∫^y_x lim_x→+∞ x^+∞f(x)=L L>0 L

Supponiamo f ≥ 0 per perm. segno I, se f lim_x→+∞ f(x) = L, L > 0 o L = +∞ (caso L + ∫(L) se

∴ L = non dim simile con d esempio per ciò

ocvareantere ∃ V x

STUDIAMO I: ∫ g_β(t) dt

1. Int. indefinito ∫ g_β(t) dt = ∫ dt / t(log^β(t)) = ∫ du / y_β

   β = 7 → g = log^β(t) y = s = log t ds = 1 + dt

   β ≠ 1 ∫ ds / log^β1

   g_β(t) dt = 1 / 1-β + K con K ∈ ℝ

   β = 1 → log(log(x)) - log(log(t))β

g_β(t) dt = β + 1

Int. definito I: ∫_a^∞

g_β(t) dt → lim

I_x^β = β/log

x → +∞

0 < β < 1 + ∞

β > 1 log_β(t) ∈ ℝ

B - 1

I - ∫_0^∞

g_β(t) dt converge ↔ β > γ

Questo unite il controllo di confronto asintotico con 1/x^d segue

∫_0^∞

dx log^d x converge ↔

d > 1 ∀ β ∈ ℝ

d = 1 ∀ β > 1

FAMIGLIA DI FUNZIONI TEST-1

1. Se H(x) ∼ L f(x) per x → +∞

2. allora f & int in sig in (β, ∞]

Esercizio ⟩ Discutere la convergenza

(∫ x + 2 x log x - 6 / x^1/2 + 3x log x arctan(x⁴)

f(x) continua in (1, ∞)

DEf per x → +∞

x + log x + 2 / 3, x/log³ x ∼ 3

grazie a corollario confronto asintotico, per O

f(x) & int integrabile in senso generalizzato

Quindi ∫ 0 ∞ dx x d ∗ ( log x ) β converge ⇔ d <1, VB ${{β}}>

METTENDO ASSIEME I RISULTATI DI CONVERGENZA DI QUESTE FUNZIONI TEST DAL TEOREMA 2 DI CONFRONTO ASINTOTICO, SEGUE:

38 COROLLARIOmit(

Dato f : [a,b] _→ R f DEFI

per x _{-αœt f int.}in [a,x] Vxε _[a,b]valgano

1. f(x) ~ k per x _-αœt (_ε R, _k ≠ 0) allora f _int. in _s.g. in _[a,b] (d _ο)
2. f(x) ~ k xlogx per x _-αœt (_ε R, _k ≠ 0) allora f _int. in _s.g. in _[a,b] (d < _θ) _∃ B _∈ R _d 1 ;
3. lim x^df(x) == ₀ con d < ₁ f ∈ int. _{s.g. in [b]}

Esercizi

1. ∫ 1/x^4 log x dx =
2. f(x) = ₁ / x^(2) ∣log∣x
⊖ ₀ < 1 ∪ ∪

CRITERI DI INTEGRABILITÀ N.S.G. IN [3,b],[a,b] OPERATIVI

2 METODI

1. Sostituzione nell'integrale per ricondurci al caso [_a,b
2. Sostituzione nel corollario di confronto asintotico

Es Metodo A

I = # ⥐c # \\f(t)dt = lim

PROPRIETA DELLE SERIE E CONDIZIONE NECESSARIA DI CONVERGENZA

PROPRIETA DELLE SERIE

• ^+∞Σ a_n = Σ a_n+K hanno lo stesso carattere

  Se la 1ª converge, anche la 2ª converge e viceversa Se la 1ª diverge, anche la 2ª diverge e viceversa Se la 1ª è irregolare, anche la 2ª è irregolare e viceversa

  ^n+NS_n = Σ a_n + Σ a_n+1 + ... + Σ a_n+k + ... = Σ a_n+k

  S_n = Σ a_n + S_m = Σ a_n + Σ a_n+k

  lim S_n = lim S^{n - N} + c ⇒ lim S^{n - n} = c + limⁿ

  Stesso carattere ma non stessa somma

• V.O. costante

  ^+∞Σ a_n = Σ a_k S = lim S_n = lim ^+∞ Σ a_n = d

• d: Linearità delle serie convergenti

  ^+∞Σ a_n e ^+∞Σ b_k convergenti allora ^+∞Σ (a_n ± b_k) = ^+∞Σ a_n ± ^+∞Σ b_k

  S = lim S_m = lim ^+∞Σ a_n + b_k = lim S_m + lim Σ b_k

• OSS

  vale più in generale quando non si verifica che una serie è ⇔

CONDIZIONE NECESSARIA DI CONVERGENZA

• Se ^∞Σ a_k converge allora lim a_k = 0

  Dim suppose ^∞Σ a_k ∈ ℝ

  lim S_n = lim^∞ Σ a₀ √ V_n = Σ a₀, a₁, a₂, ..., S_n - S_n-1 = 1

  lim S_n = lim S_n-1 per (1) ⇔ lim a_n = 0