Algebra e geometria

GEOMETRIA

I concetti Primitivi

Geometria Euclidea

Ci sono concetti che in geometria non hanno una vera e propria

definizione, perché veri concetti base e primitivi: PUNTO, PIANO,

RETTA, SPAZIO, e a questi principali si aggiungono anche, INSIEME,

APPARTENENZA, ELEMENTO, MOVIMENTO RIGIDO.

-Una figura geometrica è un insieme di punti.

-È una figura piana, quella che è composta da un insieme di punti

appartenenti tutti allo stesso piano.

-È una figura solida, una figura composta da un insieme di punti,

non tutti appartenenti ad uno stesso piano.

I PUNTI con Maiuscole, RETTE con minuscole, PIANI minuscole

greche,

Le relazioni tra le figure geometriche sono ordinate grazie ai

POSTULATI e i TEOREMI

-I Postulati sono intuitivi, e non vanno quindi dimostrati. Sono di

APPARTENENZA, ORDINE e uno di PARTIZIONE DEL PIANO

Il POSTULATO 0 dice che: Lo spazio è l’insieme di tutti i punti

(Insieme Universo), rette e piani sono sottoinsiemi dello spazio. Una

retta è formata da punti infiniti, un piano contiene infinite rette, lo

spazio contiene infiniti piani.

Il POSTULATO 1 dice che: Per 2 punti distinti, passa UNA ed una sola

retta. Poi, I Punti che appartengono a una stessa retta si dicono

ALLINEATI. Due rette che giacciono sullo stesso piano, e che non si

intersecano, si dicono PARALLELE, quelle rette che hanno invece 2

punti in comune sono SOVRAPPOSTE o dette COINCIDENTI.

Il POSTULATO 2 dice che: Per 3 punti non allineati passa uno ed un

solo piano. Quindi, punti che appartengono ad uno stesso piano si

dicono COMPLANARI.

Il POSTULATO 3 dice che: Se 2 punti di una retta appartengono a un

piano, tutti i punti della retta appartengono a quel piano.

Il POSTULATO 4 dice che: Su una retta orientata ogni punto è

seguito da almeno un altro punto ed è preceduto da almeno un

altro punto.

Il POSTULATO 5 dice che: Tra 2 punti di una retta è compreso

almeno un 3 punto.

-I Teoremi, invece, devono essere necessariamente dimostrati. Le

dimostrazioni sono quindi deduzioni che partono da ipotesi per

divenire affermazioni, cioè tesi. Se il concetto avviene all’inverso, si

chiama IMPLICAZIONE INVERSA; se fosse vera sarebbe TEOREMA

INVERSO. Un LEMMA è un teorema non molto importante, utilizzato

per dimostrare un teorema molto importante. Un COROLLARIO è

invece una conseguenza immediata di un teorema prima

dimostrato.

Il TEOREMA 1 dice che: Tra 2 punti di 1 retta sono compresi infiniti

punti.

Il TEOREMA 2 dice che: Per un punto passano infinite rette.

Il TEOREMA 3 dice che: L’intersezione di 2 figure convesse è una

figura convessa.

La SEMIRETTA è una figura formata da un punto di retta, chiamato

ORIGINE, e da una delle 2 parti in cui la retta viene divisa in tale

punto.

Il SEGMENTO è una figura formata da 2 punti di una retta, detti

estremi, e dai punti della stessa retta compresi tra essi.

-Un segmento con gli estremi coincidenti si dice NULLO.

-Due segmenti si dicono CONSECUTIVI se hanno in comune solo un

estremo e nessun altro punto.

-Due segmenti consecutivi si dicono ADIACENTI, se giacciono sulla

stessa retta.

Una POLIGONALE, o SPEZZATA, è una successione di 2 o più

segmenti consecutivi, disposti in modo che i lati della poligonale

non abbiano estremi comuni. Se gli estremi coincidono, sarà una

SPEZZATA CHIUSA, altrimenti APERTA. Se 2 lati non successivi di

una poligonale hanno in comune un punto, la poligonale si dice

INTRECCIATA, in caso contrario è NON INTRECCIATA.

Una figura geometrica si dice CONVESSA se qualsiasi 2 punti si

scelgano, il segmento che li congiunge è contenuto all’interno della

figura stessa. In caso contrario è CONCAVA.

Le posizioni reciproche di 2 RETTE sono:

-rette COMPLANARI: se, e solo se esiste 1 piano che le contenga

entrambe.

-rette SGHEMBE: se, e solo se non esiste 1 piano che le contenga

entrambe.

Le RETTE COMPLANARI possono essere:

-Incidenti: se si intersecano in 1 e 1 solo punto.

-Parallele Distinte: so non hanno alcun punto in comune.

-Parallele Coincidenti: se coincidono punto per punto.

Dato un piano e una retta giacente su di esso, si chiama semipiano

la figura formata dalla retta e da una delle due parti in cui essa

divide il piano. Tale retta è detta Origine di ciascuno dei 2 semipiani.

Un semipiano è una FIGURA CONVESSA.

Si chiama angolo la figura formata da una coppia di semirette

aventi la stessa origine, e da una delle due parti in cui esse dividono

il piano in cui giacciono. Le 2 semirette sono detti LATI dell’angolo, e

la loro origine comune è detta VERTICE dell’angolo.