Algebra 1 (parte1)

Rla alloè stessol'appartenenzaRiflessiva verificaredeveSimmetricaTransitivaSe R l'insiemerelazione delled'equivalenzaè unaclassi d'equivalenza sipartizione associataochiama Insieme Aquoziente si indicae sipeERA partizionemoduloleggeI rel d'equivalenzaBAF DIn AEAF FlaTeorema: (fondamentale delle funzioni)AF B FiatFiafa seA anaponiamo e d'equivalenzaè relazioneuna FLa Inffunzione Indotta AinFlaEla è biunivocacorrispondenzauna B F né I soneDiw RVFlaa Flaan b USFCA andFISan DAND FCCFCA FISFebDNC CVDANE benOss è posta FlaiFlasiano DLa anaa ae LaFILA FlaDE suriettiva Jae A Flase Fb FlaDe in DE iniettiva Anla ea FlaiF LaE FIAFla D 9aA INes INEAF SuriettivaFèbFlo ab 5,31 72èUna 6,44,2classe 7 2612 2,41,330109 Principio Regola BaseDiPrincipio di buon ordinamentoAl Aallora ammettevuoto mirinonon unVoiesiste AE A9 te EaE9cioè dimostriamoCon il diesso principio induzionePrincipio di induzione versione s

proposizioni

sequenza di

avere una

di

Supponiamo

PIU Rma Eno no

con false

che essere vere

possono

affermazioni

cioè o

Supponiamo inoltre che

Passo base Pino è vera

Pinti era

Passo induttivo Anz Pin vera

seno è vera

sempre

tra

fin

Allora è vera no

Il principio di buon ordinamento implica il principio

di induzione

Dico Pin falsa

è

A nano

Panama

Phèverà

sitnano

Dire A E

Per Assurdo A E

supponiamo che

Per di

il buon ordinamento

principio intero

piccolo

più

il

è

A ammette falsa

aminimo è

un più

per

Per

il Pino

base aè vera

passo no

essere il

vera più

poiché vi è piccolo

PIA dovrebbei Pin falsa

è

per cui

Pin

Per Pia

induttivo

il è

è ver

vero

attipasso

Contraddizione fare esercizio

AAvevamo eche

supposto contrario

il

mostrare

esercizio viceversa

Ef fra

1 27 Penh

Esempio

Passo base PG è vera

SI1

Passo Pin èinduttivo Supponiamo veran

UIt tn che

mostra

Pinti è cioe

vera ht

It nenti NEVI

It haiht ETIMUIL NELUTI

Principio Induzione di versione 2 fra Pin te proposizione no è Pino vera In km2 no en Penenno vera fra Plm vera è mtua è pin vera no Divisibilità 72 in numeri primi Def Un 1 è peprimo diverso un numero numero da ostie T.Ciseta ha Daplay2 tee chesi o Un 2 Def dice irriducibile se penumero sip T.C0 ti i hafab 2 bsiabt.c.pe Ile a oppure dimostrare che semplice Un irriducibile è primo numero Di M è primop bb b7 Siano dividea atic pa Dpe eessendo o Plaprimop Senza SPDG Generalità perdita di IKER t.ca upabpipotesi per p_ab combinate Kpa e Kb per pb is Proposizione (divisione con resto in ) Eb b2 allora se e esistono due a o7 E t.c numeri 9,1 attrbra ae b Dim ozoacuicaso in Usiamo il diprincipio induzione su a Passo base a rprendiamoo oq Passo induttivo b prendiamo 1 caso aa o rqb aoa allora b può diverse è ando unza caso virtuale su Consideriamo aab a induttiva IPOTESI 7 esistono eqt. z bb g'be bea 2 altia Ennb Eattia 4 è kb ose coase al 0 a o attr cambia la prima

parte segno per a ai valori è bar valida grazie9a assolutibioAL 0 loa soo Ebala qb raa LOO Db obq1a re rbfa a dividerese perEsempi 3iovoglio3.310 ti 24 3ES la divisionese 9 o èOssDifesogo 4 unica24210 4 23 MCDZ 2E cheb DiciamoDef trada èe unb sea edla e d' Eacide 15d d2 d' Idd' laSe De eMCD fraesempio 1512 eMldd è3 Medèdi 3de d perSi da per presupposto che qualsiasi n possaessere espresso come prodotto di numeri primiMCDIn esercizio Provolo71 non esisteapoiché si da per buono che i numeri primisiano irriducibiliNoci 5 ioDati 2 MCD9,5 definitoabbiamoE deche undia eh sedibdla e d' Idd' lbd' la d èD piccoloMCD èil sostanzialmenteOss unicoMedse di da sonoInfatti lda diD dadadi d2perPer lo indichiamoedioilconvenzione scegliamoMCD.lacon bVaTeorema 2 MCDbe besiste aDini Non è restrittivo 2597 opelppore e' giustoInfatti lose sostituireato conposso alo b liCbsestesso per ae scambiarepossolorotra

fittedMÉRYProcediamo per su aaoinduzione con restodivisioneb late faccioo Esteindurite49 Perte9 ipotesibb Mostriamod ilcor dèMCD che ancherMede aibdib Datadia albedir3 ae poiché15d'la d d'IE base D d'Ide a2 DMedhir bil Mediaancheèquindi dadimostrazione ciOSS metodo perunquesta Euclidecalcolare didettoMld algoritmo interaamica.az.noESEMPIO una soluzionetrovareesempiomassone202Med 204trovare 9402021 940 con 141resto2 MCD MESAMCD 940,141 MODULI 477941204,940 Medhtso p940 resto141 946 con141 47resto94 i con247 gagcon94 ohaQuesto fatto varie conseguenzeTeoremaSiano 7 MCD9,5 b alloradE asia esistonoe2 ENim E C (identità di Bézout)DimNon bioè restrittivo aProcediamo subinduzioneperbse qualsiasiscegliere uno a.bg nb lafaccio divisionese restoconoabta R MCDd MCDPoiche 5,7baPer Iinduttiva esistono T.cmin Eipotesi m'btd n'E ab1 ade cu'b n'a n'ab bde n'acioè m n'acanCamHo cercatiinteri

minglicosi trovatoossianche dim è costruttivaquestatrovareEsempio interi un t.ci EEsionii2021Mt 940 47n con resto94047 y 9407940141 2021 14g94 20217 94015940.22021940 6141 nips7 15 sonome ne unicisoluzionese delltrovareESEMPIO esiste interaa unaequazione è dimultiplo94 356 5 non 6come 9esoluzionese intera 9I946 21MCDPo 9,6che 3 esistochesappiamo min ete 9m 3Gn9 9 6.1con 36 resto 3 9.16 resto 33 2 o perMoltiplichiamo 7667 9.7 73 7 7m nAbbiamo checapito generaleinhaby soluzioni Media dividee b etaxIn lo Bizotl'identità diquesto controvocasoMoltiplicandola per interoun opportunoNoci7 io 7hAbbiamo Idfachemostrato b ed NCD bainoltre fue tubte7L amaenCafè dicsoluzioniha59ax cconseguenzaInfatti d'e bastase l'identità BezoardimoltiplicareEper dici atti ildese membro no nonfiAvete è irriducibilechevisto ogni viceversailmostrareorapossiamoProp primoirrudicible èinteroogniDim Sia 9,5 labZ Pintero irriducibile Eun toepmostrare Pibche

opiaVogliamo PMCD S oAirriducibile PèPoiché pSe MCD PlaallaP paNCD l'identità BézoutSe dipA scrivereposso7m b2 permoltiplicandote pu iautneb abu 5pm perEis.ie staigTeorema Per hafa 2eintero cheneiogni siMediafa è invertibile 2in minIn 21 è nèparticolare un campo primaDim sia invertibilecheD asupponiamoIcioè IL 2ina manE ovvero1 axinxI 2ovvero e iax cnxpovvero CheAX 1Sostituendo C 4con MCD andunque sopranyax eaWodenAx IEIn lex 1 ac chax iSe MCD fare Bezoaridan possiamoiMY IattIx nel t.ca cioèi