Aerodinamica dei corpi 3D

Corpi 3D

Da profilo alare -> a sezione alare

Sezioni alari (tagli) -> tip (estremità alari)

b: apertura alare (span)

b²/s: allungamento alare AR (aspect ratio)

S: superficie alare (surface), ombra che si ottiene proiettando la sezione alare a terra con una fonte luminosa direzionata lungo z

AR = _b/^s → per ala rett.: AR = _b²/^b⋅c = _b/^c

_C(tip)/^C(root) = λ

λ: rastremazione (taper)

Λ_ba: angolo di freccia (sweep)

∫_st_dS = F̄_an [N] = (D, F_y, L)

F_y: forza laterale (side force)

_CD = _D/^{1/2 ρv2 S}

C_L = _L/^{1/2 ρv2 S}

C_Fy = _Fy/^{1/2 ρv2 S}

M̄_an = (M_x, M_y, M_z)

→ rotoli, beccheggio, imbardata

C_m = _Mx/^{1/2 ρv2 S⋅C}

…… C_my, C_mz

S = superficie alare

C = 1/C∫_-b/2^b/2(C(y)) dy

Δ: angolo diedro

∇²φ = 0 → ∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z² = 0

Metodi BAM: Boundary Element Method

Il metodo a pannelli è l’unico che possiamo riprendere, i profili sottili e le trasformazioni conformi non valgono più

Dobbiamo capire:

• che atto di moto si genera per un'ala 3d
• Come modellare l'atto di moto su un'ala 3d
• Come controllarlo

Se taglio l’ala, metto in collegamento dorso e ventre

U_x → genera vorticità δ_y

Le linee di corrente cambiano di più allontanandosi dalla fusoliera

La differenza di segno di vorticità con il caso 2D sta nel cambio di SdR:

• in 2D, l’asse della vorticità (z) è uscente dal foglio, quindi la vorticità è positiva sul ventre e negativa sul dorso;
• in 3D, l’asse della vorticità (y) è diretto lungo l’ala, uscente dalla fusoliera: a causa della differenza di pressione tra ventre e dorso, e allo spostamento delle linee di corrente che essa induce, la componente della vorticità sul ventre è negativa e viceversa per il dorso sostanzialmente però, in entrambi i casi la vorticità si “arriccia” verso la superficie del profilo

Ala vista da dietro: analizziamo la componente latero-direzionale della vorticità

25/11/2022 LEZIONE 21

Filamento vorticoso 3D

In 2D

V_θ = ^Γ/_2πr V̅ = ^Γ/_2π &hat;k ∧ r̅ / |r|²

È invariante nell’asse z: è uno spaghetto che perfora la lavagna

In 3D

P(x, y, z) dv_P: vel. indotta del vortice nel p.to P

v_p = ^Γ/_4π ∮ de̅ ∧ r̅ / |r|² legge di Biot-Savart

Teoremi di Helmholtz:

• intensità del filamento costante Γ (equivalente a dire che sia una linea materiale)
• chiuso o si estende all’infinito

Filamenti vorticoso rettilinei

1. V.o.c. infinito

w = ^Γ/_2πh  Risultato dell’integrazione in 2D lungo il filo

2. semi-infinito

w = ^Γ/_4πh (cosα + 1)  w: velocità uscente (o entrante) dalla lavagna, dipende dal segno di Γ

30/11/2022 LEZIONE 22

Theorema: condizione necessaria e sufficiente perchè D sia minima è che

A_t ≠ 0, A_n = 0 n > 1

Prendiamo Γ alla prima iterazione: questo perchè noi vogliamo ridurre al minimo la resistenza, e dato che dobbiamo solo considerare A₁:

prendiamo il modulo e la resistenza è al minimo, solo così non possiamo

annullare perchè in tutti i casi non avremmo portanza

Prendiam quindi il primo termine dispari della serie

Γ(θ) = 4 / πbV_∞ β sin θ₀

y' = b/2 cos θ = b/2 cos θ

sen β = √(1 - cos² β) = √(1 - (2y/b)²)

sin β = √(1 - cos² β) = √(1 - (2y/b)²)

cambio di coordinate

y' = b/2 cos θ

Γ(y) = Γ₀ √(1 - (2y/b)²)

Distribuzione di portanza ellittica

Γ(y) = Γ₀ √(1 - (2y/b)²)

L = 4 / πbρV_∞ A₁ √(1 - (2y/b)²)

ELLISSE

1)

∫_-b/2^b/2ρU(y)Γ(y) dy = -ρU_∞ Γ₀ b/2 sin θ b/2 dθ

L = π/4 ρU_∞ b

L = peso del velivolo

Nota la portanza, l’unica incognita è Γ₀

2)

Resistenza minima: velocità indotta costante; come si fa? Primo termine di Fourier costante

W(y) = w_i = -Γ₀ / 2b = cost

W positivo è verso l’altro, ci va un -

Γ₀ = -2b w_i

D_i = ∫_-b/2^b/2ρU(y)Γ(y) dy = ∫_-b/2^b/2ρU(y)Γ(y) dy

CL = L / 1/2 ρU²_∞ S = π/4 ρU²_∞ S (b² / S)

= Γ₀ / V_∞ b

CL = Γ₀ / V_∞ b

= C_L 2S / πb

AR = b² / S

2/12/2022 LEZIONE 23

Variando l'angolo di freccia o l'angolo di edro, dobbiamo riformulare

ℓ(y) [Γ(y)] → C_P sul profilo

Γ(y) = 1/2 U_∞ U(Υ) C_L α(y) dx Σ(x(y) dY - Y' x' - α₀)

ℓ_p = 1/2 ρ U_∞² C(P_L) (α₀ - W(P_σ) U₀)

Γ(P_σ) = 1/2 U_∞² C(P_L) (α_σ - Σ W_N U_∞)

La wp2 è la somma di vortici finiti sui vari segmenti

Veicoli indotta da ogni elemento vorticoso (a staffa) posizionato su ciascun pannello

W_P13 = δ₃ 4π R_ij4 (cos(α) + 1) + δ₃ 4π R_ij2 (cos(α)_ij2 + cos(β))

Per helmholtz γ₃ è costante

ω_P13 = δ₃

W_iK = A_ii δ_i

δ_i = K_i (α_∞ - Σ A_in δ_n - α₀)

δ_i + Σ A_in δ_n = K_i (α_∞ - α₀)

A_i B [ ] [ ] la matrice non è simmetrica

Metodo di Weissinger

Buroti: W(y) dunwash

(poskoto verso l’alba)

Assumiamo l'apertura alare b

Analisi parametrica: si fa a parità di tutti gli altri parametri, cambiamo solo l'apertura b Stiamo controllando un’ala con stessa superficie

L'attrito dipende fortemente dalla posizione del punto di transizione

Aerodinamica (da 2 a 1)

• Minimizziamo la D_i (res. indotta)
• Attrito -> limite la corda (LFC) per mantenere S laminarie
• Alte incidenze (stallo)
• Struttura instabile, duro appontare
• Aeroelasticità
• Meno superficie utile per impianti

L_w = L_w = 1/2 ρ C_L S V_∞²

Avere una S più grande mi consente di avere una velocità di stallo più bassa, o una ρ più bassa, così da poter atterrare in aeroporti con piste più corte o aeroporti in quota.

Posso aumentare cL con flaps e slats

Aumentiamo la Superficie S

• Aerodinamica (decollo e atterraggio)
• più spazio per i sistemi
• Aerodinamica (attrito)
• Strutturali: (+S = +momento)

Aumentiamo la freccia Λ

Λ = 45° ÷ 60°

• Aerodinamica: ritardo il Mach critico
• Aerodinamica: carichiamo le estremità

Λ ≯ 0 → momento cabrante

Λ ≯ 0 → momento picchiante

Perchè gli aerei si fanno a freccia positiva?

Un aereo tradizionale è più stabile che manovrabile, un aereo canard il contrario

Λ ≯ 0 → stabile, poco manovrabile

Λ ≯ 0 → instabile, molto manovrabile