3 - Modelli costitutivi dei terreni

EQUAZIONI DI NAVIER O LEGGE DI HOOKE GENERALIZZATA

Dano il seguenre stano di sforzo, posso costruire, e corcio di Monr. É

staro di reunione principale, ma sul piano a 45° agira la twax

16y N. B) le T prinupali

agiscono sul piano

Curay! a 45°

6

Toy

Se definisco E e 1 capisco in ma modo si è deformato ll romiso

(DISTORSIONI ANGOLARI)

бу Ex=-NEY

É possibile definire ma relazione lineare aume tra t

tra T. TANGENZIALI e DISTORSIONI ANGOLARI er, ouvero

T= GX

G è ua variabile dipendenre da E e 1, quindi per duficure il

comportamenno elasnco lineare e sufficienre individuare solo

quesn due parametzi 1

= Бжу = G

G = Xyz = {Tyz

2 (1+U) 8720 = 1 TzN

→ in genere la un valore di circa 0,5, in tale conduzione il volume

Ricapito lando, per scrivere volto le LEGAME COSTITUTIVO

'-VE -VE O 6 x

• Ex 0 6 y

Е y 6&

'E O

-VE -VE

E z = Бху

0 7G 0

Y.ny tyz

69 & TEn

8-720 00

Nel comp. elasnco la matrice puo enere disaccoppiata

1/

E ? +26 ч 1

7,Ga

P → MODULO DI RIGIDEZZA

=

Ev = 3 VOLUMETRICA

= 3 (1-20)

Da tale forunca si nota ne se v= 0,5 nonsilia ma variano ne

6= 00) porcue la rigidezza vo lucetruca e

du volume (infarti k =

ruficina. (06-12-2021)

Nei reneni possiamo sfruttare il mezzo elasnco applicando due approcci

differenni; possianno coundurare:

(1) IL TERRENO NEL SUO COMPLESSO: Ci SOnO parrico lari conduzioni per cui siamo

in grado di unlizzare il mezzo elastico per l'analisi della deformaroni.

Abbiano me Eu, Du (la """durva da "unarainea"), quindi

[6x -Vu (by + 6z)]

Ex = Eu [6y -vu (6x +6z)]

1

Ey = Eu 166-Vu (6x0 +6y)]

Ez = Eu Тху

Ежу G

1

Eyz = Gu

1

Exz = Trz

G

(2) LO SCHELETRO SOLIDO: sappiamo cue sono presenti le rensioni efficaci,

quindi uncinano l'apice aume per i tre parametà delle deforma

• Di couse gu cura [6'x - N'(6'y+6'2)]

Ex [6'y-N' (6'x + 6'z)]

Ey.. [6'&-1 (6'20+6'9)]

1

Ez = E

1

Еху = txy

G'

1

Eyz = Tyz

G

1 Tzn

EzN G'

Se abbiamo un comportamento elasnco, i reoria Gu = G' Sappiamo

cue T=t' e quindi la deforma vone me le consegue deve en ere la stena

in entrambi i cani

Sulla gracinura orizzoutale a6r →

=0 6r = COSTANTE e, In mancaura

delle condizioni al contorno, abbiamo otenno il valore aulle rensioni

esficaci orizzontali tramite l'equazione 6no = Ko 6'vs: le legare

costinenvo ci permele di riso evere e problana seura dover passare per

questa soluzione empirica. *

ll legame cosminutivo per lo scheletro solido ci dice le

, Ex= (Gua-N' (6'vo +6'uo)] =0

lEr=0 * Solto il peso proprio

16'no (1-~')] = N'6%0 Solove unas anale

(Ea 70) e 54

V'6'vo

6'

no = (Er=0) porce gl elemeun

ko

(1 - V') si apraporo a vicendas.

lumpougo las coupruenze

[Ere = 0] e untiro le

scopriamo cosi me legame costitinvoce

Ko 1 - v'

se le comportamento dello smecetro solido fosse perfettamenre elasnco

(in realtà non e cosí), allora avremo ce

Ко 1 - V

cou Ko=0 se l'=o e ko= 1 se v'-O,5, ma nei reneui lo potrebbe

avere aucue un valore > 1.

MEZZO PLASTICO PERFEITO

connderiano perfetto il mezzo in chi, una vocra messo in moro, le pistona

convino a moversi aume a forza costante

F S

Sro

La forza é indipendere dallo spostamento s; F=F* ua e la CONDIZIONE

DI PLASTICITA

*Diversamenre, se lo scema fosse ll seguenre, ovvero si la un pistone pu

lungo

servirá sempre pur forza in quanto nau mano cue il pistone si unove

aumenta la superficie d'attrito, quindi sará aifferenre aume e grafico

forza-spostamento F

Con ma riduzione della forza il pistone si ferma. Abbiamo sempre la

condizione du plasticité per cui FIF* ma cou la forza dipendene dallo

spostamenro s (pu le pistone entra pui sara-necenara una forza maggiore)

Tale simazione si verifica con un mezzo plastico INCRUDENTE POSITIVAMENTE

*Counderamo ora un mezzo duerso in cui il morsetto presenta un

allargamento

In queso caro la forza necessaria per far scovere il pistone si voce.

Quando si smette di applicare la forza e pistone si ferma, quicedi

avremo sempre F=F* come coúdizione di plasticitá, ma conuque la

forza di pende dallo spostameno s

F

F*

da sita none cue si verifica è quella del merro plasnco INCRUDENTE

NEGATIVAMENTE

in quest nerico caso, epplicands F* subito dopo cue le pistone miria a

unoverni a troveremo in campo dinamico e vizierebbe a

l'equilibrio (la forza va comuque regolato). Questo mezzo preseura

un instabilitá meccanica, per ridurla dobbiamo imporre uno spostamen

e poi misurare la forza ne cenano

RIchiami al MEZZO PLASTICO PERFEITO

le mezzo plastico perfetto ci aiura a capire come si compono i renere e lu

parncalare a capirna la renisteura a coltucas. Counderiamo comuque il

reneno come "giá colto" porcue è DISCONTINUO (infaltre colposto da grame)

ROTTURA: e renero si romupe quando si genera ma superficie di scorrimento

lungo la quale si tramo scorrimenti induficini. le reneno si rompe

"a becco di flauto" (un conportam ento dul genere è tipico di un merro

plastico perfetto). Bisogua quindi determinare la soglia F* di cottura

1 piani sono uno rispetto all'altro lungo la frattura cua si e creata

SCORRIMENTO

counderiamo un blocco appoggiato su un piano (es tavolo). Su eno agiscono.

una forza normale N e ma di taglio T lue puó avere una componene

sia lungo so ce lungo y) I Ty

Tr

Per l'attrino sappiamo cue é T=HN, ovvero proportonale alla forza

nornale Ne a y me e le COEFFICENTE D'ARITO

¡cocla C T=YN

con y me e il coeffueure augolare della celta y-tga (a= augolo altuto).

se poi incollanimo il maltonuna sul tavolo dovrenno applicare una forra

tale da vincere sa l'altuto me la colla

T= YN + C

→ CRITERIO DI MOHR- COULOMB

Viene unicizzato por desuvere lo scorrimento all'urero di un venero.

Le reurioni rangenrali sono quelle responsabili dello scorrimento.

T = 6tg4 +C

Viene definiro come CRITERIO DI SCORRIMENTO O CRITERIO PLASTICO (per i

due parametri da cui é definiro) COESIVO (per la prescura della

costaure c me rappresenra la colla) ATTRATIVO (per la preseura

componeure 618P). › augols de atrito del reneno

come seconda i poren, considerianco lo scheletro solido come mezzo

elastico per felto * Aume in questo cans

t= 6'tg4'+ c' possiamo disneguere :

Tultavia se consideriamo il teneno nel suo compleno • TERRENO NEL SUO COMPLESS

car componente attrina si anulla (E = Cu + 66844) COME MEZZO ELASTICO PERFEI

porcue le cocep. l' solo coesio 1= Cu + 6tg lu

• SCHELETRO SOLIDO COME

MEZZO ELASTICO PERFEITO

→

I comportamenti plastici use teneno si verificano gua prima descas colturas. Ad

6

aserepio dare la forza di hageo nelle sue commponeun To e Ty si avrebbe

scaricano se la risultaure "Ts"+ Ty? fosse unagpiare della Trenissenne e sconimen

Uncizziamo Mouz in quanto + То + Ту" »Т*

res dove

TEs = YN

2 + Ty

cou ITI = 1 Tr • Si tralta di una circonferenra con le centro

vece origine degei am

Nee cano in cui questo valore fosse minore o uguale a vero, il marro

sarebbe fermo.

Esistono parnicolari sinarioni in mi facciaio riferimenro al reneno

uce suo comupleno. in questi cani vedremo ce 6t94=0

Tre

Nel caso del puuro A le blocco scoree in dicezione su, uee puuto 8 14

direzione y. In qualsian altro purero avra 2 coupoueur, quivo lo

scorriccuro saxa in aucezione della risuetaure e

DA RICORDARE

• Tute le forunce posso no essere sincue sile in termini de incremen' (4)

600

→ →,

•Ea ==1600-1(264)] Ea =

Ea =

→

cr= = Ex = 2 (-160))

"Ers. Ea + 208r

AV

DEV* V

Daro un ecameuro saltoposto a unas forzas du tageo euugo se (13-12-2021)

ey, la farra tsverame in modulo sara Vou"+ Ty" ITy

Affinché non si verifichi lo scorrimento la condizone é • To

"+ Ty? syN

ITI = V

ouvero ce T sia interno alla circonfereura cou raggio yN e ceutro

• Al variare del valore di N varia la cicconfereura: al crescere du ~

Il dominio di plasticizzazione divenna pué auupio (?)

N.B. Se coundero e donimo 3D l'eu cono Se Ty=o e Tato le blocco

Ty, Sy scome lupo se, al sur ano

S (spastameuro) se Typo e Tr=o scone luupo

y: se ducques ga ami

soyceppougous ie ventan

- HI spostameuro Sn e Sy, auro"

las dire zone au vettori

→ Tro, Sau spostauneuro: Sinone we

presove qualman poulo

dera circoufereuro a eugo

il velare sporranueus de

spostamento e alla LEGGE DI FUISSO ASSOCIATA

Questo nipo unisce le puur al euro del

da legge dei fluidi é legara a come è falto e dominio; s viaggia

senmpre in direzione noriale alla circonfereura e rappresenta il

prenan plastic le bare al quale si decide la direnone se conneno

non scone, mas re

puuro in sposta

→ Quando il puLto l INTERNO alla circonfereura, le corpo No

NON e Iu

MOVIMENTO

In un mezzo peasnico lo spostamento me si produce non l legato alla

variazione di stato di sforzo (auversamenre da quanto amiene pere e

mezzo elasnico), porcué cóme conta é lo sforro appacaro complemivo.

PIDARILO DILILION IE MODELLO ELASTCO LINGARE per sibanom'contous

on roHura. lu vas cans si valuamo En e poisiano usone cale usaades pou

•SCHELETRO SOUDO, In ce disono le Hunoui efficaci (51, Ela')

"TERRENO NEL SUO COMPLESSO, Me CeCi Vi SONa lE POUrIOLi FOLaRI (5, Eu, Ver)

In alcne sinazioni calcolare lo stato di sforro di un reneuo puó

enere problemarco, auuque in talicani si coundera l reneuo nee suo

comeperno.

Nei cam lu cirie viam al livere du coltura enerse MoDELo PLAsTiCo

Aucue vel mezzo plastico abbiamo 2 PARAMETRI (COESIONER ANGOLO

Es aisnugse sempu tra 6'1c4'

s.S.

с, б T. N. S.C. uno de dune paramer

- 61 cu, Pu → e nuclo (Pu =0) Il

Cremeus uee

conuppeno) manieros sistenuanca

se coudo , l priucipio di

plashariazione.

ci si cede quands sia necenario studiare il t.u.s.c., duque un

reneuo saturo: (se applico una sforza di taglio eno sara anobiro dallo s.s

porche l'acque non ha cuportamenn' ln ceazione a questo npo dusfoca)

→

SOLLECITAZIONE DEVIATORICA lA reunone è uguale a quella della 6'

→

SOLLECITAZIONE ISOTROPA lo S.s. Si comeprime ed especce l'acqua: si

una variazione ai volume ce mplica lo

spostamenro d