Matematica Maturità: calcolo combinatorio con ripetizione

Per affrontare al meglio la prova di matematica del 2017 è bene muoversi con anticipo. Cominciare ad esercitarsi già da ora, quindi, è un'ottima strategia per arrivare preparati all'esame di maturità del liceo scientifico.

Può essere utile, perciò, rivedere i quesiti di matematica con il calcolo combinatorio con ripetizione. Con l'aiuto del prof di matematica, Francesco Bologna, vedremo come risolvere questo problema sia con il metodo tradizionale, sia con l'aiuto di una delle calcolatrici scientifiche più diffuse, la Casio FX991ES PLUS.

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CALCOLO COMBINATORIO CON RIPETIZIONE

Le indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento dell'allievo del liceo hanno previsto che, al termine del percorso liceale, lo studente dovrà conoscere i concetti salienti relativi al calcolo delle probabilità e dell'analisi statistica.

In particolare tra gli obiettivi specifici di apprendimento viene dato risalto al paragrafo "Dati e previsioni" nel quale viene esplicitato che l'allievo dovrà saper distinguere tra caratteri qualitativi, quantitativi discreti e quantitativi continui, operare con distribuzioni di frequenze e rappresentarle.

Dovrà, inoltre, aver assimilato le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle misure di variabilità, saper ricavare semplici inferenze, nonchè l'uso strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) per analizzare raccolte di dati e serie statistiche.

Nel secondo biennio e nell'ultimo anno, in ambiti via via più complessi, l'allievo dovrà acquisire i concetti relativi alle distribuzioni doppie condizionate e marginali, alla deviazione standard, dipendenza, correlazione e regressione, e di campione.

Studierà la probabilità condizionata e composta, la formula di Bayes e le sue applicazioni, nonchè gli elementi di base del calcolo combinatorio, concludendo con lo studio di alcune distribuzioni discrete e continue di probabilità (come la distribuzione binomiale, la distribuzione normale, la distribuzione di Poisson).

In questo paragrafo affrontiamo l'analisi del calcolo combinatorio con ripetizione.

CALCOLO COMBINATORIO CON RIPETIZIONE

Il calcolo combinatorio studia i modi di combinare gli elementi di un insieme fissati alcuni criteri.

L'obiettivo è quello di stabilire quanti gruppi si possono formare da una famiglia di oggetti. I gruppi
possono differire per l'ordine degli elementi ( permutazioni -

[math]nPr[/math]

), per la presenza o meno di un elemento ( combinazioni -

[math]nCr[/math]

) o per entrambe le caratteristiche ( disposizioni -

[math] nPr x nCr[/math]

Le combinazioni si distinguono in semplici e con ripetizione.

Analizziamo i casi con ripetizione

Esercizi:

1. Quanti sono gli anagrammi della parola "farfalla"?

2. Calcolare il numero delle possibili colonne da giocare al Totocalcio.

3. Calcolare in quanti modi si possono distribuire sei oggetti in quattro scatole.

Esercizio 1. Quanti sono gli anagrammi della parola "farfalla"?

Nella parola farfalla la f è ripetuta due volte, la lettera a tre volte e la lettera l due volte.

Il numero di permutazioni è calcolato tramite la relazione:

[math]P_n^{K_1,K_2,K_3}=\frac{n!}{K_1!K_2!K_3!}[/math]

Quindi nel nostro caso,

[math]n=5[/math]

si avrà:

[math]P_n^{2,3,2}=\frac{8!}{2!3!2!}=\frac{1*2*3*4*5*6*7*8}{1*2*1*2*3*1*2}=1680[/math]

2. Calcolare il numero delle possibili colonne da giocare al Totocalcio.

Il numero di disposizioni con ripetizione è calcolato tramite la relazione:}

[math]D^{n,k}=n^k[/math]

Quindi nel nostro caso,

[math]n=3[/math]

[math]k=13[/math]

si avrà:

[math]D^{n,k}=3^{13}=1594323[/math]

3. Calcolare in quanti modi si possono distribuire sei oggetti in quattro scatole

Il numero di combinazioni con ripetizione è calcolato tramite la relazione:

[math]{C'}_{n,k}=\frac{\left(n+k-1\right)*\left(n+k-2\right)***\left(n+1\right)*n}{k!}[/math]

Quindi nel nostro caso,

[math]n=4[/math]

[math]k=6[/math]

si avrà:

[math]C_{24,3}=\frac{9*8*7*6*5*4}{6!}=\frac{60484}{720}=84[/math]

Vediamo come la calcolatrice FX991ES+ può rendere la procedura di calcolo molto semplice.

foto di tasti calcolatrice Casio FX991ES+

ESERCIZIO 1

Passaggio #1

Attraverso al combinazione:

Collochiamoci nel menù COMP

Passaggio #2

Digitiamo

Per inserire il simbolo di fattoriale:

Passaggio #3

Tramite il tasto cursore inseriamo i valori:

Digitando = otterremo il valore cercato.

ESERCIZIO 2

Passaggio #1

Attraverso al combinazione:

Collochiamoci nel menù COMP

Passaggio #2

Digitiamo

Per eseguire il calcolo del numero di combinazioni:

Passaggio #3

Tramite il tasto cursore inseriamo i valori:

Digitando = otterremo il valore cercato.

ESERCIZIO 3

Passaggio #1

Attraverso al combinazione:

Collochiamoci nel menù COMP

Passaggio #2

Digitiamo

per eseguire il calcolo del numero di combinazioni:

Passaggio #3

Tramite il tasto cursore inseriamo i valori:

Digitando = otterremo il valore cercato.

Osserviamo che il primo valore è 9 corrispondente a

[math]\left(n+k-1\right)[/math]

Il secondo a

[math]k[/math]

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