Guida all'uso della calcolatrice scientifica | Maturità 2015

INDICE

• RISOLUZIONE DI EQUAZIONI CON METODI APPROSSIMATI - pag.3

• CALCOLO DELL’EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE

AL GRAFICO DI UNA FUNZIONE - pag.8

• CALCOLO DI UNA AREA SOTTESA AD UNA CURVA - pag.11

• CALCOLO DEGLI INDICI STATISTICI DI BASE PER VARIABILI SINGOLE - pag.14

• CALCOLO DEGLI INDICI STATISTICI DI BASE PER VARIABILI DOPPIE - pag.19

• CALCOLO DEGLI SCOSTAMENTI STANDARDIZZATI - pag.25

• CALCOLO COMBINATORIO - pag.30

• CALCOLO MATRICIALE - pag.41

• CALCOLO VETTORIALE - pag.47 2

INTRODUZIONE

Cosa studiare per la seconda prova dell’esame di stato? Tutto!?!?! Impossibile. Quindi conviene

elaborare una strategia di sopravvivenza. Spesso ricordiamo i contenuti (c.f.r. Docente: “Al terzo anno

abbiamo parlato di geometria analitica…” ) ma non ricordiamo i procedimenti che utilizzavamo.

Per agevolare il nostro studio si possono imparare alcune procedure con la calcolatrice scientifica

che ci consentiranno di colmare alcune lacune e ci daranno l’opportunità di risolvere rapidamente

sia parti del problema che alcuni dei quesiti.

E’ bene osservare che ciò è assolutamente in linea con quanto richiesto da Ministero che, infatti,

afferma nelle Linee Guida che da un lato è necessario evitare dispersioni in tecnicismi ripetitivi

o casistiche sterili che non contribuiscono in modo significativo alla comprensione dei problemi,

dall’altro che gli strumenti informatici oggi disponibili offrono contesti idonei per rappresentare e

manipolare oggetti matematici.

Vediamo un primo esempio.

Uno dei temi più assegnati all’esame di Maturità è la risoluzione approssimata di equazioni.

RISOLUZIONE DI EQUAZIONI CON METODI APPROSSIMATI

Sappiamo che non è sempre possibile trovare le soluzioni di un’equazione con metodi algebrici (come

per le equazioni di primo o secondo grado…), esistono infatti delle equazioni di grado superiore

o trascendenti per le quali non esistono formule risolutive ma bisogna utilizzare procedimenti

alternativi di risoluzione approssimata.

Solo durante l’ultimo anno del corso di studi il problema raggiunge la sua piena maturazione,

quando si impara a rappresentare le equazioni graficamente, a separare le radici e poi ad applicare

qualche tecnica numerica, utile per ottenere almeno approssimativamente una radice: si tratta

di un argomento classico che si sviluppa con le nozioni di calcolo infinitesimale. Tale procedure si

basano , in genere, su due fasi:

1. determinare gli intervalli in cui sono presenti le soluzioni.

2. Calcolare la soluzione.

In genere le funzioni assegnate hanno per dominio un intervallo (anche non limitato) e sono

continue e derivabili.

Le procedure si basano su due teoremi molto importanti: il Teorema dell’ Esistenza degli Zeri ed i

Teoremi di unicità degli zeri.

a) Teorema dell’esistenza degli zeri.

Sia f : [a, b] R una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], tale che

f(a)f(b) < 0.

Allora esiste 3

b) Primo Teorema di unicità degli zeri.

Sia f : [a, b] R una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], derivabile in (a,b) con

derivata prima diversa da zero nell’intervallo, tale che f(a)f(b) < 0. Allora esiste ed unico un punto

c) Secondo Teorema di unicità degli zeri.

Sia f : [a, b] R una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], derivabile due

volte in (a,b), tale che f(a)f(b) < 0 e f’’(x)>0, (o f’’(x)<0) , allora esiste ed unico un punto

Dopo aver stabilito l’esistenza e l’unicità dovremo calcolare tale soluzioni. Esistono diversi

procedimenti iterativi. Uno tra i più diffusi e studiati è il metodo di bisezione.

dell’intervallo (a,b) e si calcola il valore della funzione in .

Si determina il punto medio

I casi possibili sono tre:

= 0, in tal caso abbiamo determinato la soluzione;

ha lo stesso segno di a e ciò indurrà che la soluzione è nell’intervallo

ha lo stesso segno di b e ciò indurrà che la soluzione è nell’intervallo

Si riparte con il nuovo intervallo e si procede allo stesso modo, definendo il punto medio e

calcolando la funzione in tale punto, al fine di escludere, ancora una volta, una metà dell’intervallo

di lavoro. Dopo aver compiuto n passi, assumeremo come soluzione il valore medio n-esimo. 4

RISOLUZIONE DI EQUAZIONI CON METODI APPROSSIMATI

Iniziamo con il verifi care se l’equazione ammett

e soluzione applicando i teoremi sull’esistenza e

l’unicità.

Calcoliamo il dominio della funzione.

Riscriviamo la funzione della forma e tracciamo le due funzioni elementari al fi ne di

individuare grafi camente un intervallo di analisi (a,b).

Scegliamo l’intervallo

Verifi chiamo i teoremi su enunciati .

Verifi chiamo che

Infatti

Calcoliamo la derivata prima della funzione:

Verifi chiamo che essa è diversa da zero per ogni x appartenente all’intervallo.

Poniamo

Calcoliamo per completezza la drivata seconda. Si verifi

cherà facilmente che essa è sempre positi va

in (a,b):

Possiamo aff

ermare che esiste ed unico un punto

Calcoliamo il valore di 5

Calcoliamo f(m).

Per le considerazioni su fatte, consideriamo l’intervallo (2,25;4) e calcoliamo il punto medio

Calcoliamo il valore di

Calcoliamo

Per le considerazioni su fatte, consideriamo l’intervallo (2,25;3,125) e calcoliamo il punto medio

Calcoliamo il valore di

Calcoliamo

Per le considerazioni su fatte, consideriamo l’intervallo (2,68;3,125) e calcoliamo il punto medio

Calcoliamo il valore di

Così procedendo determineremo la soluzione cercata. Vediamo come la calcolatrice può

semplificarci la procedura. 6

7

RISOLUZIONE DI EQUAZIONI CON METODI APPROSSIMATI

Uno degli esercizi più frequenti è il calcolo dell’equazione della retta tangente al grafico di una

funzione.

Per determinare tale equazione dobbiamo ricordare il significato geometrico di derivata secondo il

quale la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta l’inclinazione della retta tangente

in quel punto.

La procedura di calcolo si basa , in genere, su diverse fasi:

1. Si determina il valore della funzione in

2. Si determina l’equazione della funzione derivata prima

3. Si determina il valore della funzione derivata prima in

(in tal modo determiniamo il coefficiente angolare della retta m).

4. Si determina l’equazione della tangente al grafico nel punto

sostituendo i valori precedentemente determinati nella relazione del fascio proprio:

CALCOLO DELL’EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE AL GRAFICO DI UNA FUNZIONE 8

9

10

CALCOLO DI UNA AREA SOTTESA AD UNA CURVA

Uno degli esercizi più impegnativi che deve affrontare uno studente liceale è il calcolo di aree

sottese a curve di cui si conosce l’equazione.

Senza entrare in tecnicismi, ricordiamo che, dal teorema fondamentale del calcolo integrale

possiamo ricavare la formula per il calcolo di dell’area espressa dalla relazione di Newton - Leibniz:

Dove F(x) è una qualsiasi primitiva di y = f(x) ed a e b sono gli estremi di integrazione.

Per determinare tale integrale definito dobbiamo, innanzitutto, ricordare il significato di primitiva

di una funzione:

Due primitive differiscono a meno di una costante. Risalire alla primitiva di una funzione non è

sempre banale. Diverse sono le tecniche che vengono studiate quali ad esempio l’integrazione per

sostituzione e l’integrazione per parti; tecniche non sempre di immediata applicazione. 11

CALCOLO DI UNA AREA SOTTESA AD UNA CURVA

Esempio: determinare l’area sottesa alla curva di equazione

Nell’intervallo 12

Digita 13

CALCOLO DEGLI INDICI STATISTICI DI BASE PER VARIABILI SINGOLE

Le indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento dell’allievo del liceo

hanno previsto che, al termine del percorso liceale, lo studente dovrà conoscere i concetti salienti

relativi al calcolo delle probabilità e dell’analisi statistica.

In particolare tra gli obiettivi specifici di apprendimento viene dato risalto al paragrafo “Dati e

previsioni” nel quale viene esplicitato che l’allievo dovrà saper distinguere tra caratteri qualitativi,

quantitativi discreti e quantitativi continui, operare con distribuzioni di frequenze e rappresentarle.

Dovrà, inoltre, aver assimilato le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle misure di variabilità,

saper ricavare semplici inferenze, nonché l’uso strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo)

per analizzare raccolte di dati e serie statistiche.

Nel secondo biennio e nell’ultimo anno, in ambiti via via più complessi, l’allievo dovrà acquisire

i concetti relativi alle distribuzioni doppie condizionate e marginali, alla deviazione standard,

dipendenza, correlazione e regressione, e di campione.

Studierà la probabilità condizionata e composta, la formula di Bayes e le sue applicazioni, nonché

gli elementi di base del calcolo combinatorio, concludendo con lo studio di alcune distribuzioni

discrete e continue di probabilità (come la distribuzione binomiale, la distribuzione normale, la

distribuzione di Poisson).

In questo paragrafo iniziamo con l’affrontare calcolo degli indici statistici di base per variabili

singole. 14

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16

17

18

CALCOLO DEGLI INDICI STATISTICI DI BASE PER VARIABILI DOPPIE

Le indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento dell’allievo del liceo

hanno previsto che, al termine del percorso liceale, lo studente dovrà conoscere i concetti salienti

relativi al calcolo delle probabilità e dell’analisi statistica.

In particolare tra gli obiettivi specifici di apprendimento viene dato risalto al paragrafo “Dati e

previsioni” nel quale viene esplicitato che l’allievo dovrà saper distinguere tra caratteri qualitativi,

quantitativi discreti e quantitativi continui, operare con distribuzioni di frequenze e rappresentarle.

Dovrà, inoltre, aver assimilato le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle misure di variabilità,

saper ricavare semplici inferenze, nonché l’uso strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo)

per analizzare raccolte di dati e serie statistiche.

Nel secondo biennio e nell’ultimo anno, in ambiti via via più complessi, l’allievo dovrà acquisire

i concetti relativi alle distribuzioni doppie condizionate e marginali, alla deviazione standard,

dipendenza, correlazione e regressione, e di campione.

Studierà la probabilità condizionata e composta, la formula di Bayes e le sue applicazioni, nonché

gli elementi di base del calcolo combinatorio, concludendo con lo studio di alcune distribuzioni

discrete e continue di probabilità (come la distribuzione binomiale, la distribuzione normale, la

distribuzione di Poisson).

In questo paragrafo iniziamo con l’affrontare calcolo degli indici statistici di base per variabili

doppie. 19

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CALCOLO DEGLI SCOSTAMENTI STANDARDIZZATI

Le indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento dell’allievo del liceo

hanno previsto che, al termine del percorso liceale, lo studente dovrà conoscere i concetti salienti

relativi al calcolo delle probabilità e dell’analisi statistica.

In particolare tra gli obiettivi specifici di apprendimento viene dato risalto al paragrafo “Dati e

previsioni” nel quale viene esplicitato che l’allievo dovrà saper distinguere tra caratteri qualitativi,

quantitativi discreti e quantitativi continui, operare con distribuzioni di frequenze e rappresentarle.

Dovrà, inoltre, aver assimilato le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle misure di variabilità,

saper ricavare semplici inferenze, nonché l’uso strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo)

per analizzare raccolte di dati e serie statistiche.

Nel secondo biennio e nell’ultimo anno, in ambiti via via più complessi, l’allievo dovrà acquisire

i concetti relativi alle distribuzioni doppie condizionate e marginali, alla deviazione standard,

dipendenza, correlazione e regressione, e di campione.

Studierà la probabilità condizionata e composta, la formula di Bayes e le sue applicazioni, nonché

gli elementi di base del calcolo combinatorio, concludendo con lo studio di alcune distribuzioni

discrete e continue di probabilità (come la distribuzione binomiale, la distribuzione normale, la