Dimostrare l'esattezza della seguente identità
[math]\frac{\tan 2\alpha + \sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\tan 2\alpha - \sin 2\alpha}{\sin^2 \alpha}
[/math]
[/math]
Iniziamo a operare al primo membro.
[math]\frac{\tan 2\alpha + \sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha}[/math]
Poichè sappiamo che vale[math]\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}[/math]
esso diventa[math]\frac{\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} + \sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha}[/math]
ovvero, moltiplicando numeratore e denominatore per [math]\cos \alpha[/math]
, otteniamo[math]\frac{\sin 2\alpha + \cos 2\alpha \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha \cdot \cos^2 \alpha}[/math]
che diviene, dopo aver raccolto [math]\sin 2 \alpha[/math]
al numeratore,[math]\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot \frac{1 + \cos 2\alpha}{\cos^2 \alpha}[/math]
cioè, sapendo che [math]\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha-1[/math]
,[math]\tan 2\alpha \cdot \frac{1 + 2\cos^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha}[/math]
che diviene[math]2*\tan 2 \alpha[/math]
dopo aver eliminato [math]1[/math]
e [math]-1[/math]
e aver semplificato [math]\frac{2 \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2[/math]
Cerchiamo ora di scrivere opportunamente il secondo membro [math]\frac{\tan 2\alpha - \sin 2\alpha}{\sin^2 \alpha}[/math]
Facilmente, per considerazione fatte anche prima, si ottiene [math]\frac{\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} - \sin 2\alpha}{\sin^2 \alpha}[/math]
da cui[math]\frac{\sin 2\alpha - \cos 2\alpha \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha \sin^2 \alpha}[/math]
ovvero[math]\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha}[/math]
Ora, ricordando che [math]1-\cos 2 \alpha = 2 \sin^2\alpha[/math]
si giunge a[math]\tan 2\alpha \cdot \frac{2 \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}[/math]
che diventa facilmente[math]2*\tan2\alpha[/math]
Entrambi i membri sono stati ricondotti alla stessa forma, pertanto l'identità è vera.FINE
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