Dimostrare l'esattezza della seguente identità
[math](\\tan2alpha+\\sin2alpha)/(\\cos^2alpha)=(\\tan2alpha-\\sin2alpha)/(\\sin^2alpha)[/math]
Iniziamo a operare al primo membro.
[math](\\tan2alpha+\\sin2alpha)/(\\cos^2alpha)[/math]
Poichè sappiamo che vale
[math]\\tanalpha=\\sinalpha/(\\cosalpha)[/math]
esso diventa
[math]((\\sin2alpha)/(\\cos2alpha)+\\sin2alpha)/(\\cos^2alpha)[/math]
ovvero, moltiplicando numeratore e denominatore per
[math]\\cosalpha[/math]
, otteniamo
[math](\\sin2alpha+\\cos2alpha\\sin2alpha)/(\\cos2alpha \cdot \\cos^2alpha)[/math]
che diviene, dopo aver raccolto
[math]\\sin2alpha[/math]
al numeratore,
[math](\\sin2alpha)/(\\cos2alpha) \cdot (1+\\cos2alpha)/(\\cos^2alpha) >p> cioè, sapendo che [/math]
cos2alpha=2cos^2alpha-1[math], >p> [/math]
tan2alpha*(1+2cos^2alpha-1)/(cos^2alpha)[math]
2*tan2alpha che divie
e
[/math]
[math] >p> dopo aver elimin a o [/math]
1[math] e [/math]
-1[math] e aver semplifica o [/math]
(2cos^2alpha)/(cos^2alpha)=2[math] >p> Cerchiamo ora di scrivere opportunamente il secondo membro >/p> >p> [/math]
(tan2alpha-sin2alpha)/(sin^2alpha)[math]
((sin2alpha)/(cos2alpha)-sin2alpha)/(sin^2alpha) Facilmente, per considerazio
e fatte anche prima, si ottie
e
[/math]
[math] >p> da cui >/p> >p> [/math]
(sin2alpha-cos2alphasin2alpha)/(cos2alpha*sin^2alpha)[math] >p> ovvero >/p> >p> [/math]
(sin2alpha)/(cos2alpha)*(1-cos2alpha)/(sin^2alpha)[math] >p> ora, ricordando che [/math]
1-cos2alpha=2sin^2alpha[math] si giunge a >p> [/math]
tan2alpha*(2sin^2alpha)/(sin^2alpha)[math] >p> che diventa facilmente >/p> >p> [/math]
2*tan2alpha$ Entrambi i membri sono stati ricondotti alla stessa forma, pertanto l'identità è vera.
FINE
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