Risolvere
[math]5(\\sin^4x+\\cos^4x)=2(1+3\\sin^2x\\cos^2x)[/math]
. --------------------------------------------------------------------------------
Iniziamo con una mossa astuta:
sommiamo al primo e secondo membro un addendo del tipo
[math]10\\sin^2x \cdot \\cos^2x[/math]
ottenendo
[math]5(\\sin^4x+\\cos^4x)+10\\sin^2x \cdot \\cos^2x=2(1+3\\sin^2x\\cos^2x)+10\\sin^2x \cdot \\cos^2x[/math]
da cui, raccogliendo opportunamente si ha
[math]5(\\sin^4x+\\cos^4x+2\\sin^2x\\cos^2x)=2+16\\sin^2x\\cos^2x >/p> >p> Ovvero >/p> >p> [/math]
5(sin^2x+cos^2x)^2=2+16sin^2xcos^2x[math] >/p> >p> Ma la parentesi al primo membrò non è altro che [/math]
1^2[math], quin di possiamo ometterlo, e rima
e solo [/math]
5e solo [/math]
[math] >/p> >p> [/math]
5=2+16sin^2xcos^2x[math] >/p> >p> [/math]
3=16sin^2xcos^2x[math] >/p> >p> [/math]
3=(4sinxcosx)^2[math] >/p> >p> [/math]
3=(2sin2x)^2
[math]\\sin2x=+-(\sqrt3)/2[/math]
Ora analizziamo:
[math]\\sin2x=\sqrt3/2[/math]
comporta che
[math]2x=\pi/3+2k\pi[/math]
ovvero
[math]x=\pi/6+k\pi[/math]
E inoltre il seno assume quel valore anche per
2x=2/3pi+2kpi
[math] ovvero >/p> >p> [/math]
x=pi/3+kpi[math] >/p> >p> >/p> >p> mentre in vece esaminando il valore [/math]
sqrt3/2$ [math]\\sin2x=\sqrt3/2[/math]
comporta che
$2x=-2/3pi+2kpi
[math] >/p> >p> [/math]
x=-pi/3+kpi[math] >/p> >p> L'altro valore è >/p> >p> [/math]
2x=-pi/3+2kpi->x=-pi/6+kpi[math] >/p> >p> >/p> >p> per cui le soluzioni sono>p>>/p> [/math]
x=+-pi/6+kpi[math] >/p> >p> [/math]
x=+-pi/3+kpi, k in ZZ$
FINE
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