Si dimostri la seguente identità
[math]\\sin2x-\\sin4x+\\sin6x=\\sin4x(2\\cos2x-1)[/math]
Iniziamo ad operare sul primo membro
[math]\\sin2x-\\sin4x+\\sin6x=\\sin2x-\\sin4x+\\sin(4x+2x)=\\sin2x-\\sin4x+\\sin4x\\cos2x+\\sin2x\\cos4x[/math]
Abbiamo usato la nota formula della somma.
Ora raccogliamo
[math]\\sin2x[/math]
nel primo e ultimo due addendo, e [math]\\sin4x[/math]
negli altri due
[math]\\sin2x(1+\\cos4x)+\\sin4x(\\cos2x-1)[/math]
Ricordiamo inoltre che
[math]1+\\cos4x=2\\cos^2 2x[/math]
, perciò si ha
[math]\\sin2x(2\\cos^2 2x)+\\sin4x(\\cos2x-1)=[/math]
[math]=2\\sin2x\\cos^2 2x+\\sin4x(\\cos2x-1)[/math]
Ma osservando che
[math]2\\sin2x\\cos^2 2x[/math]
può essere scritto come [math]2\\sin2x\\cos2x \cdot \\cos2x[/math]
possiamo eseguire una duplicazione in questo modo
[math]\\sin4x\\cos2x+\\sin4x(\\cos2x-1)[/math]
Finalmente, raccogliendo a fattor comune
[math]\\sin4x[/math]
si ottiene
[math]\\sin4x(2\\cos2x-1)[/math]
che è il secondo membro dell'identità , che perciò è vera.
FINE
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