Risolvere
[math]\\cosx/(1+senx)+\\tanx=2[/math]
Iniziamo a risolvere l'equazione.
Imponiamo che
[math]x!=\pi/2+k\pi[/math]
con [math]kin ZZ[/math]
affinchè la funzione tangente sia definita.
Moltiplichiamo ambo i membri per
[math]\\cosx(1+\\sinx)[/math]
per eliminare i denominatori. C'è comunque da assicurarsi che
[math]\\sinx+1!=0[/math]
ovvero [math]\\sinx!=-1[/math]
che dà [math]x!=3/2\pi+2k\pi[/math]
e anche che
[math]\\cosx!=0[/math]
ovvero [math]x!=\pi/2+k\pi[/math]
In verità questa condizione sono già contenute in
[math]x!=\pi/2+k\pi[/math]
L'equazione diventa, dopo aver moltiplicato,
[math]\\cos^2x+(1+senx)senx=2\\cosx(1+senx)[/math]
cioè
[math]\\cos^2x+\\sinx+\\sin^2x=2\\cosx+2\\cosx\\sinx[/math]
Ma poichè si sa che
[math]\\sin^2x+\\cos^2x=1[/math]
otteniamo
[math]\\sinx+1=2\\cosx(1+\\sinx)[/math]
ovvero
[math](senx+1)(2\\cosx-1)=0[/math]
Abbiamo già avuto modo di vedere che
[math]\\sinx+1!=0[/math]
,perciò lo trascuriamo. Ci si riduce a
[math]2\\cosx-1=0[/math]
cioè
[math]\\cosx=1/2[/math]
che ha soluzioni
[math]x=+-\pi/3+2k\pi[/math]
con [math]kin ZZ[/math]
FINE
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