Si dimostri la seguente identità goniometrica
[math]\\sin2x=(\\cosx+\\sinx+1)(\\cosx+\\sinx-1)[/math]
Per provare la veridicità di un' indentità , dobbiamo far pervenire entrambi i membri a una medesima forma
Iniziamo dal secondo membro
[math](\\cosx+\\sinx+1)(\\cosx+\\sinx-1)[/math]
Svolgando le parentesi, anche se possiamo notare un prodotto notevole (somma per differenza) otteniamo
[math]\\cos^2x+\\sinx\\cosx-\\cosx+\\sinx\\cosx+\\sin^2x-\\sinx+\\cosx+\\sinx-1[/math]
Eliminando i termini opposti e sommando quelli simili
[math]\\cos^2x+\\sin2x+2\\sinx\\cosx-1[/math]
Ricordando che
[math]\\cos^2x+\\sin^2x=1[/math]
La nostra espressione diventa
[math]2\\sinx\\cosx[/math]
Ovvero
[math]\\sin2x[/math]
Come si vede, abbiamo ricondotto il secondo membro al primo
[math]\\sin2x=\\sin2x[/math]
FINE
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