Identità goniometriche: dimostrazioni e significato

In questo appunto di Trigonometria viene trattato il tema delle identità goniometriche, con un focus su quali sono e come verificarle tramite esempi svolti. Dopo una dettagliata introduzione sulle formule trigonometriche si passerà alla risoluzione delle identità, tramite esempi svolti.

Funzioni e formule della trigonometria

Per identità goniometrica intendiamo un'uguaglianza tra due funzioni goniometriche, che risulta essere verificata per determinati valori assunti dall'arco.
Prima di procedere con la verifica di alcune identità goniometriche, poiché non vi è un modo standard di agire, è opportuno fare un breve ripasso sulle funzioni goniometriche, le relazioni fondamentali e alcune formule trigonometriche che possono tornare utili.
Le funzioni goniometriche vengono definite sulla circonferenza goniometriche, la quale presenta centro nell'origine degli assi e ha raggio unitario. Queste funzioni sono il seno , il coseno , la tangente , la cotangente , la secante , e la cosecante . Queste funzioni goniometriche possono poi essere definite in termini di seno e coseno, come riportato di seguito:

Queste vengono definite relazioni fondamentali, alla quale si aggiunge l'identità fondamentale della trigonometria:

Questo ci permetterà di potere esprimere il seno in termini di coseno e viceversa e ciò tornerà molto utile per la verifica delle identità goniometriche:

Queste

relazioni fondamentali possono poi combinarsi fra loro in modo tale da ottenere la relazione voluta per la risoluzione delle identità goniometriche. La verifica delle identità può essere anche raggiunta tramite relazioni che tengono conto degli angoli associati o di formule trigonometriche.
Le formule per archi associati di tutte le funzioni goniometriche coinvolgono particolari angoli noti sulla circonferenza goniometrica. A titolo d'esempio, riportiamo qui di seguito alcune delle formule sugli archi associati di seno e coseno:

Tra le formule trigonometriche, occorre menzionare quelle di somma o differenza degli angoli per seno, coseno, tangente, le formule di duplicazione dell'angolo e le formule parametriche.

Esercizi per la verifica delle identità goniometriche

Esercizio 1: Si dimostri che vale la seguente identità goniometrica:

Partendo dal primo membro, l'uso della formula che mi consente di calcolare il valore del seno di una somma di angoli ci è utile per riscrivere l'espressione nel modo di seguito riportato:

Usando questa nota formula sul numeratore, otteniamo:

Ci accorgiamo però di avere una prodotto notevole, ovvero, somma per differenza e perciò possiamo scrivere direttamente, senza svolgere le parentesi:

Adesso considero l'identità fondamentale della trigonometria, che come già abbiamo detto, viene espressa nel modo seguente:

Data l'identità fondamentale, è possibile scrivere i diversi seni al quadrato in espressioni contenenti il coseno:

Svolgendo le parentesi e sommando al numeratore ciò che possiamo, si avrà:

Ma questa espressione equivale alla seguente:

Semplificando si ha:

Quindi abbiamo ottenuto il secondo membro a partire dal primo, e l'identità è valida, tralasciando i casi in cui il denominatore del primo membro è zero, il che toglierebbe significato alla frazione e quindi all'identità.

Esercizio 2: Si dimostri che vale la seguente identità goniometrica

Inizio a rielaborare il primo membro, svolgendo il quadrato tra parentesi:

Moltiplico le quantità tra parentesi:

Semplificando, allora otteniamo:

Quest'ultimo è il quadrato di (cos\alpha + cos\beta), per cui otteniamo:

Che è ciò che volevamo ottenere per verificare l'identità goniometrica.

Esercizio 3: Si dimostri che vale la seguente identità goniometrica

Dalla formula di duplicazione di seno e coseno abbiamo:

Pertanto il primo membro dell'identità possiamo riscriverlo nel modo seguente:

Svolgendo, a sua volta, il quadrato presente a secondo membro e semplificando otteniamo:

Pertanto, risulta verificata l'identità goniometrica.

Per ulteriori approfondimenti sulle formule trigonometriche, vedi qui

Per ulteriori approfondimenti sulle identità goniometriche, vedi qui