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il concetto di tangente e regole


La tangente di un angolo

Nel presente appunto ci proponiamo di spiegare nel dettaglio che cosa si intende per tangente di un angolo, importante funzione trigonometrica che trova larga utilizzazione anche nel mondo della geometria e della fisica. In geometria analitica, poi, quello di tangente è un concetto connesso a quello di pendenza di una retta.

Nel procedere in questa spiegazione, si darà per scontata la conoscenza di altre due importanti funzioni trigonometriche, che sono in molti modi connesse alla funzione tangente: il seno e il coseno di un angolo. Si consiglia dunque, qualora questi due concetti risultassero poco chiari, di consultare gli appunti ad essi relativi.

La tangente di un angolo in geometria

Disegniamo innanzi tutto un triangolo rettangolo, retto in C. Siano CB e CA i suoi cateti e sia AB la sua ipotenusa. Indichiamo poi con le lettere α e β rispettivamente i due angoli acuti con vertice in A e in B.
Si sa che questi due angoli sono complementari (cioè tali che la loro somma sia pari a 90°): la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è infatti pari a 180°, e poichè l'angolo con vertice in C è retto, la somma dei due restanti angoli acuti non può che essere 90°.

Figura 1 (in allegato)

Si definisce tangente di uno qualsiasi degli angoli acuti di un triangolo rettangolo il rapporto tra il cateto opposto all'angolo considerato e il cateto adiacente. Nel nostro caso viene ad essere:


[math]tan(α)= tg(α)= BC/AC[/math]

[math]tan(β)= tg(β)= AC/BC[/math]


Come si può notare dalle formule appena riportate:

[math]tan(α) = \frac{1}{tan(β)}[/math]

[math]tan(β) = \frac{1}{tan(α)}[/math]


Abbiamo precedentemente constatato come i due angoli α e β siano complementari. Questo ci porta dunque alla conclusione che la tangente di un angolo acuto è uguale al reciproco della tangente del suo complementare, e viceversa.

La geometria ci insegna che la tangente di un angolo dipende unicamente dall'ampiezza dell'angolo. In altre parole, qualunque sia la misura dei tre lati di un triangolo rettangolo, a parità di angoli i loro rapporti BC/AC e AC/BC saranno sempre gli stessi. Così, un angolo di 30° avrà sempre lo stesso valore di tangente, indipendentemente da quali siano le misure del triangolo rettangolo di cui fa parte. Allo stesso modo anche un angolo di 60° avrà sempre lo stesso valore di tangente, indipendentemente da quali siano le misure del triangolo rettangolo di cui fa parte, e così via.

La tangente è inoltre un valore adimensionale (cioè privo di unità di misura), in quanto rapporto tra grandezze omogenee (lato/lato).

Conoscere a memoria il valore della tangente di un certo angolo (30°, 45°, 60°...ecc.) è dunque molto utile in geometria, perchè permette di determinare il valore di un cateto noto l'altro: è sufficiente utilizzare la formule inversa derivata da quella della tangente.

[math]BC = AC \cdot tan(α)[/math]
oppure:
[math]AC = \frac{BC}{tan(α)}[/math]

[math]AC = BC \cdot tan(β)[/math]
oppure:
[math]BC = \frac{AC}{tan(β)}[/math]


Precedentemente si è accennato al fatto che il concetto di tangente è collegato in qualche modo a quello di seno e coseno di un angolo. La relazione che lega tra loro queste importanti funzioni trigonometriche è nota come "seconda relazione fondamentale della trigonometria". Essa afferma che "la tangente di un angolo è data dal rapporto tra il suo seno e il suo coseno". Vediamo dunque di dimostrarla.

Facendo sempre riferimento al triangolo rettangolo ABC e ricordando quali sono le definizioni di seno e coseno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo, possiamo scrivere che:

[math]sen(α) = BC/AB[/math]
e
[math]cos(α) = AC/AB[/math]

[math]sen(β) = AC/AB[/math]
e
[math]cos(β) = BC/AB[/math]


Sappiamo che dividendo entrambi i membri di una equazione per uno stesso valore/numero l'uguaglianza resta valida. Proviamo dunque a dividere il seno di α e il seno di β per i rispettivi coseni. Diviene:

[math]\frac{sen(α)}{cos(α)} = \frac {BC}{AB} \cdot \frac{AB}{AC} = \frac {BC}{AC} = tan(α)[/math]

[math]\frac{sen(β)}{cos(β)} = \frac {AC}{AB} \cdot \frac{AB}{BC} = \frac {AC}{BC} = tan(β)[/math]


La relazione è dimostrata. Attraverso di essa è possibile determinare il seno e il coseno di un angolo acuto quando se ne conosce la tangente: è sufficiente utilizzare le seguenti formule inverse:

[math]sen(α)= tan(α)\cdot cos(α) [/math]

[math]cos(α)= \frac{sen(α)}{tan(α)}[/math]


Le misure della tangente dei principali angoli si trovano tabulate nei manuali di geometria o di trigonometria. Non è raro che l'ampiezza di un angolo venga espressa anzichè in gradi sessagesimali (30°, 45°, 60°) in radianti. La trigonometria, anzi, predilige proprio questa unità di misura.
Trascurando quale sia l'origine del radiante, ci limitiamo in questa sede a riportare i valori in radianti degli angoli più comuni.

[math]30° =\frac{π}{6}[/math]

[math]45° =\frac{π}{4}[/math]

[math]60° =\frac{π}{3}[/math]

[math]90° =\frac{π}{2}[/math]

[math]180° = π[/math]

[math]270° =\frac{3π}{2}[/math]

[math]360° = 2π[/math]


La circonferenza goniometrica

Il concetto di tangente che abbiamo appena introdotto facendo riferimento ad un triangolo rettangolo è oggetto di studio in trigonometria grazie all'introduzione della cosiddetta circonferenza goniometrica. L'analisi di ciò che accade al suo interno permette anche di determinare il valore della tangente degli angoli principali.

Per circonferenza goniometrica si intende una circonferenza con centro nell'origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e raggio arbitrario. Per semplicità, adotteremo come unità di misura dei due assi proprio la misura di questo raggio (R = 1).

Dai due assi cartesiani lo spazio e la circonferenza goniometrica sono quindi divisi in quattro quadranti: il primo conterrà i punti con ascissa positiva e ordinata positiva, il secondo conterrà i punti con ascissa negativa e ordinata positiva, il terzo conterrà i punti con ascissa negativa e ordinata negativa, il quarto conterrà i punti con ascissa positiva e ordinata negativa.

Facendo riferimento alla FIGURA 2 (in allegato), questo comporta che i punti A, B,C e D abbiano nel piano le seguenti coordinate:

A (1,0)
B (0,1)
C (-1,0)
D (0,-1)

Indichiamo con P un generico punto sulla circonferenza goniometrica, libero di scorrere lungo di essa: Figura 2 (in allegato).
Se da P mandiamo la perpendicolare al raggio OA della circonferenza, otteniamo il triangolo rettangolo OPH. Indichiamo con α l'angolo acuto del triangolo OPH con origine in O.

Facendo riferimento alle due definizioni di seno e coseno di un angolo acuto che sono state in precedenza fornite, possiamo scrivere:

[math]sen(α) = HP/OP = HP/1 = HP[/math]
, cioè è pari all'ordinata del punto P;

[math]cos(α) = OH/OP = OH/1 = OH[/math]
, cioè è pari all'ascissa del punto P.


Questo ci permette dunque di dire che:

Per P=A:

[math]sen(α =0)= 0[/math]
, mentre
[math]cos(α = 0) = 1[/math]
. Questo comporta che
[math]tan(α =0)= \frac{0}{1} = 0[/math]


Per P=B:

[math]sen(α =\frac{π}{2} = 90°)= 1[/math]
, mentre
[math]cos(α =\frac{π}{2} = 90°)= 0[/math]
.Questo comporta che
[math]tan(α =\frac{π}{2} = 90°)= \frac{1}{0}[/math]
, cioè non esiste. In matematica, infatti, non è possibile divide una quantità non nulla per una quantità nulla. Si dice semplicemente che l'operazione non ha senso, oppure che il valore del rapporto va all'infinito().


Man mano che si avvicina al punto B, la funzione seno tende ad aumentare, fino ad arrivare al suo massimo in corrispondenza di B. La funzione coseno invece tende a diminuire, raggiungendo lo zero in corrispondenza di B. Questo fa sì che nel primo quadrante anche la tangente sia crescente.
Fintanto che il punto P si trova nel primo quadrante, il suo seno e il suo coseno sono entrambi positivi. Dunque è positiva anche la tangente (in quanto rapporto tra seno e coseno). Passato il punto B, il seno resta positivo, ma il coseno diviene negativo. Dunque è negativa anche la tangente (in quanto rapporto tra seno e coseno).

Possiamo dunque scrivere che:

[math]tan(α =\frac{π}{2} = 90°)= ± ∞[/math]

Da questo momento in poi la funzione tangente è crescente, ma assume valori negativi.

Per P=C:

[math]sen(α =π = 180°)= 0[/math]
, mentre
[math]cos(α =π = 180°)= -1[/math]
. Questo comporta che
[math]tan(α =π = 180°)= \frac{0}{-1} = 0[/math]


Per P=D:

[math]sen(α =\frac{3π}{2}= 270°)= -1[/math]
, mentre
[math]cos(α =\frac{3π}{2}= 270°)= 0[/math]
.Questo comporta che
[math]tan(α =\frac{3π}{2} = 180°)= \frac{-1}{0}= ± ∞[/math]


Fintanto che il punto P si trova nel terzo quadrante, il suo seno e il suo coseno sono entrambi negativi. Dunque è positiva la tangente (in quanto rapporto tra seno e coseno). Passato il punto D, il seno resta negativo, ma il coseno diviene positivo. Dunque è negativa la tangente (in quanto rapporto tra seno e coseno).

Per P=A:

[math]sen(α =2π = 360°)= 0[/math]
, mentre
[math]cos(α =2π = 360°)= -1[/math]
. Questo comporta che
[math]tan(α =2π)= \frac{0}{1}= 0[/math]


L'analisi di ciò che accade nella circonferenza goniometrica ci permette di giungere a due importantissime conclusioni:

1) La tangente è una funzione illimitata, in quanto può assumere valori che vanno da +∞ a -∞.

2) Dopo aver compiuto mezzo giro, i valori della tangente tornano ad essere gli stessi. Quindi la funzione tangente è periodica, con periodo pari all'arco piatto (180°).

Se costruiamo un grafico cartesiano ortogonale che abbia in ascissa i valori via via assunti dall'angolo α, e in ordinata i corrispettivi valori della tangente, otteniamo l'andamento della FIGURA 3 (in allegato).

Il grafico prende il nome di tangentoide, e come possiamo vedere presenta due asintoti verticali corrispondenza di

[math]α =\frac{π}{2}= 90°[/math]
e
[math]α =\frac{3π}{2}= 270°[/math]
.

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