Si risolva la seguente equazione simmetrica
[math]2+\sqrt{3} +4(senx \cos x-senx- \cos x)=0[/math]
Poniamo
[math]x=\frac{\pi}{4}+z[/math]
da cui avremo che
[math] \sin x= \sin (\frac{\pi}{4}+z)= \sin (\frac{\pi}{4}) \cos z+ \cos (\frac{\pi}{4}) \sin z=\frac{\sqrt2}{2}{ \cos z+ \sin z}[/math]
Inoltre
[math] \cos x= \cos (\frac{\pi}{4}+z)= \cos (\frac{\pi}{4}) \cos z- \sin (\frac{\pi}{4}) \sin z=\frac{\sqrt2}{2}{ \cos z- \sin z}[/math]
E infine
[math] \sin x \cos x=\frac{1}{2}( \cos ^2z- \sin ^2z)=\frac{1}{2}(2 \cos ^2z-1)= \cos ^2z-\frac{1}{2}[/math]
per cui l'equazione originaria diventa
[math]2+\sqrt3+4( \cos ^2z-\frac{1}{2}-\sqrt2 \cos z)=0[/math]
Sviluppando la parentesi
[math]4 \cos ^2z-4\sqrt2 \cos z+\sqrt3=0[/math]
Risolvendo rispetto a
[math] \cos z[/math]
:
[math] \cos z=\frac{2\sqrt2\pm\sqrt{8-4\sqrt3}}{4}=\frac{2\sqrt2\pm\sqrt2(\sqrt3-1)}{4}[/math]
cioè
[math] \cos z=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}[/math]
[math] \cos z=\frac{3\sqrt2-\sqrt6}{4}[/math]
Ora
[math] \cos z=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}[/math]
Comporta
[math]z=\pm\frac{\pi}{12}+2k\pi[/math]
mentre
[math] \cos z=\frac{3\sqrt2-\sqrt6}{4}[/math]
porta a
[math]z=\pm\frac{7}{20}\pi+2k\pi[/math]
Per cui ricordando che
[math]x=z+\frac{\pi}{4}[/math]
otteniamo
[math]x=\frac{\pi}{4}\pm\frac{\pi}{12}+2k\pi[/math]
ovvero, considerando separatamente il caso + e il caso -
[math]x=\frac{\pi}{6}+2k\pi=30+k*360[/math]
[math]x=\frac{\pi}{3}+2k\pi=60+k*360[/math]
Facendo analogamente con l'altra soluzione
[math]z[/math]
avremo
[math]x=\frac{\pi}{4}\pm\frac{7}{20}\pi+2k\pi[/math]
ovvero
[math]x=\frac{3}{5}\pi+2k\pi=108+k*360[/math]
[math]x=-\frac{\pi}{10}+2k\pi=-18+k*360[/math]
FINE
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