Operazioni sugli insiemi: unione, intersezione, differenza

In questo appunto si parla di insiemi e verrà svolto un esercizio sulle operazioni di unione, intersezione e differenza. Nel linguaggio comune per indicare un raggruppamento di oggetti, di animali o di persone si usano termini come gruppo, squadra, gregge, stormo, nel linguaggio matematico si usa il termine insieme. Ripassiamo insieme alcune definizioni di base e poi passiamo allo svolgimento dell'esercizio.

Definizioni generali sugli insiemi

Il concetto di insieme è un concetto intuitivo, gli oggetti che vi appartengono sono definiti elementi dell'insieme.

Possono essere oggetti reali o astratti, elementi matematici e non matematici.
Un insieme è completamente definito solo se i suoi elementi sono elencati in maniera precisa oppure se si possono individuare con certezza.
Gli insiemi vengono indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto mentre gli elementi si indicano con le lettere minuscole.
Le relazioni di appartenenza o non appartenenza di un elemento ad un insieme sono indicate con appositi simboli
La scrittura

, si legge “a appartiene ad A”.
La scrittura

, si legge “a non appartiene ad A”.
Un insieme che ha un numero limitato di elementi è un insieme finito.
Un insieme che a un numero illimitato di elementi è un insieme infinito.
Un insieme che non ha elementi è un insieme vuoto e si indica con il simbolo

.
Il numero degli elementi di un insieme costituisce la cardinalità o potenza dell'insieme. Si scrive anche

.
Due insiemi si dicono equipotenti quando hanno la stessa cardinalità quindi lo stesso numero di elementi; se un insieme è costituito da un solo elemento si dice insieme unitario; due o più insiemi si dicono uguali se sono costituiti dagli stessi elementi. Gli insiemi numerici sono costituiti solo da numeri.

Rappresentazione degli insiemi

Ci sono diversi modi per rappresentare gli insiemi:

• per elencazione,
• per proprietà caratteristica,
• mediante rappresentazione grafica, detta diagramma di Venn.

La rappresentazione per elencazione consiste nella scrittura di tutti gli elementi che costituiscono l’insieme tra due parentesi graffe, nell'ordine desiderato e senza ripetizioni in modo che ciascun elemento compaia una sola volta. Questa rappresentazione viene detta anche rappresentazione tabulare e viene usata quando gli elementi dell’insieme non sono molto numerosi o quando sono facilmente identificabili.

La rappresentazione per proprietà caratteristica consiste nell’indicare, quando esiste, la proprietà comune a tutti gli elementi dell’insieme, che li può individuare in maniera inequivocabile e per questo motivo si dice proprietà caratteristica. Ad esempio la scrittura:

Sta ad indicare che l’insieme A è formato dai numeri naturali minori di 7.
Questo tipo di rappresentazione è utile soprattutto quando gli elementi dell’insieme sono molti e non è conveniente elencarli tutti. Quando si parla di elementi numerici le proprietà scritte devono definire le caratteristiche degli elementi, devono essere generiche e valere per tutti gli elementi. Si devono esprimere sinteticamente e in simboli matematici. In generale bisogna scrivere come si costruisce

, cioè come si crea ogni elemento dell’insieme.
La rappresentazione grafica consiste nel rappresentare l’insieme con una linea chiusa non intrecciataall’interno della quale ciascun elemento è indicato con un puntoo con un simbolo. All’esterno della linea si indica l’insieme sempre con una lettera maiuscola, questo tipo di rappresentazione geometrica si chiama diagramma di Eulero-Venn.

Sottoinsiemi e insieme delle parti

Per indicare che l’insieme B è un sottoinsieme di a si dice che B è incluso in A e la relazione di inclusione si indica con il simbolo di inclusione

:

Per indicare che il sottoinsieme B incluso in A può anche essere uguale ad A si scrive:

Ogni insieme può essere considerato un sottoinsieme di se stesso e l’insieme vuoto può essere ritenuto un sottoinsieme di qualsiasi insieme.
Dato un insieme A, esso stesso è l'insieme vuoto si dicono sottoinsiemi propri di A, mentre tutti gli altri si dicono sottoinsiemi impropri.
L’insieme delle parti di un insieme A, è l’insieme costituito da tutti i possibili sottoinsiemi propri e impropri di A.

Operazionj con gli insiemi: intersezione, unione, differenza, prodotto cartesiano

Con gli insiemi sono possibili una serie di operazioni per mezzo delle quali a partire da due o più insiemi si ottiene un altro insieme utilizzando determinate regole.
Si dice insieme intersezione di due insiemi A e B L’insieme costituito da tutti gli elementi che appartengono sia al primo che al secondo insieme e si scrive:

Quando i due insiemi non hanno elementi in comune l'intersezione è vuota.
Si definisce unione di due insiemi, l'insieme costituito da tutti gli elementi che appartengono al primo e da tutti gli elementi che appartengono al secondo e si scrive:

L’insieme (b]differenza fra due insiemi A e B è l'insieme costituito dagli elementi di A che non appartengono anche a B. Si scrive:

Il prodotto cartesiano di due insiemi è l’insieme costituito da tutte le coppie ordinate che hanno come primo elemento un elemento del primo insieme A e come secondo elemento un elemento di B. Si scrive:

Il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa come l'insieme differenza:

Esercizio svolto sulle operazioni tra insiemi

Scriviamo di due insiemi mediante la loro proprietà caratteristica:

Scriviamo ora la rappresentazione per elencazione dei due insiemi in modo tale da individuarne con esattezza tutti gli elementi:

Scriviamo l’insieme unione, formato dagli elementi che appartengono ad A e quelli che appartengono a B:

Scriviamo l’insieme intersezione, formato dagli elementi che appartengono sia ad A che a B ovvero i numeri naturali che divisori sia di 12 che di 20:

Scriviamo ora l’insieme differenza A-B, formato dagli elementi di a che non appartengono a B, ovvero i numeri divisori di 12 e non di 20.

Per ulteriori approfondimenti sugli insiemi vedi qua