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regole del teorema di Talete

Il teorema di Talete


Il teorema di Talete è molto importante in geometria, in quanto punto di partenza di molti altri teoremi, ed è utilizzabile in molti modi al fine di calcolare il valore dei lati di un qualsiasi poligono.

In un certo senso possiamo considerare il teorema concettualmente suddiviso in due parti.

La prima parte del teorema afferma che: se un fascio di rette parallele viene tagliato da due rette trasversali, i segmenti sulla prima trasversale sono direttamente proporzionali ai segmenti sulla seconda.

La seconda parte del teorema afferma invece che: alle somme dei segmenti su una trasversale corrispondono le somme dei segmenti sull'altra trasversale.

Vediamo dunque di dimostrare questi due enunciati.

Immaginiamo di avere quattro rette parallele, che chiameremo a, b, c e d. Faremo inoltre in modo che la distanza tra le rette a-b sia la stessa esistente tra le rette c-d. Chiamiamo s e t le due rette trasversali che tagliano il fascio di rette parallele. S e t sono genericamente orientate.

Chiamiamo A, B, C e D i punti in cui la prima retta (s) taglia il fascio di rette parallele (rispettivamente a, b, c e d). Come si vede, BD = BC + CD.
Chiamiamo invece A', B', C' e D' i punti in cui la seconda retta (t) taglia il fascio di rette parallele (rispettivamente a, b, c e d).

Figura 1 (in allegato)


Ebbene, in queste condizioni la prima parte del Teorema di Talete afferma ad esempio che:
[math]AB: CD = A'B':C'D'[/math]

Dimostrare questa prima parte del teorema è molto semplice: essendo AB e CD congruenti per ipotesi, basterà dimostrare che lo sono anche A'B' e C'D'.

Per far questo, da A tracciamo il segmento AE, e da C il segmento CF. I segmenti AE e CF sono stati tracciati in modo da essere paralleli alla retta t.

Figura 2 (in allegato)


Per come sono stati costruiti, i quadrilateri AEB'A' e CFD'C' sono parallelogrammi, in quanto hanno i lati a due a due paralleli. Proprietà comune a tutti i parallelogrammi è quella di avere anche i lati a due a due uguali. Possiamo quindi asserire che:


[math]AE = A'B'[/math]

[math]CF = C'D'[/math]

I triangoli AEB e CFD sono inoltre congruenti. Essi hanno infatti:

[math]AB = CD[/math]
per costruzione.
[math]E\widehat{A}B= F\widehat{C}D[/math]
, poichè angoli corrispondenti formati dalle parallele AE e CF tagliate dalla trasversale s;
[math]A\widehat{B}E= C\widehat{D}F[/math]
, poichè angoli corrispondenti formati dalle parallele EB e FD tagliate dalla trasversale t.

I due triangoli sono dunque congruenti per il secondo criterio di congruenza tra triangoli, il quale afferma che: due triangoli sono congruenti se hanno congruenti un lato e gli angoli ad esso adiacenti.

Se sono congruenti, allora vale che:

[math]AE = CF[/math]

Ma poichè:

[math]AE = A'B'[/math]

[math]CF = C'D'[/math]

Possiamo giungere alla conclusione che:

[math]A'B' = C'D'[/math]

...che è appunto i risultato a cui volevamo arrivare.

Il fatto che sia vera la prima parte dell'enunciato (e quindi i segmenti sulla seconda trasversale sono direttamente proporzionali a quella sulla prima), rende vera anche la seconda. Quindi:

[math]B'D' = B'C' + C'D'[/math]

Conseguenze del teorema


Come accennato anche all'inizio dell'appunto, il Teorema di Talete, più che essere importante di per sé, è importante perchè genera delle "conseguenze". Ovvero, perchè basandosi sul suo enunciato è possibile arrivare a tante altre successive constatazioni geometriche, le quali permettono più facilmente di determinare le misure dei lati dei poligoni. In particolare, il Teorema di Talete viene molto utilizzato quando si tratta di triangoli.

Vediamo dunque -brevemente- quali sono queste conseguenze.

1) Una retta che taglia due lati di un triangolo in parti proporzionali è parallela al terzo lato.

2) Se per il punto medio del lato di un triangolo si conduce la parallela ad un altro lato, essa dividerà il terzo lato in due parti congruenti (cioè dividerà anch'esso a metà).

Questi due enunciati -di cui l'uno rappresenta il viceversa dell'altro- vengono spesso usati insieme in un teorema sui triangoli molto conosciuto ed utilizzato, che è il seguente:

"Il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato ed uguale alla metà di questo"

Questo teorema, derivato dal Teorema di Talete, è anch'esso suddivisibile in due parti: da un lato, si tratterà di dimostrare che il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato, e dall'altro si tratterà di dimostrare che esso è anche pari alla metà di questo terzo lato.

Disegniamo dunque il triangolo qualsiasi ABC. Chiamiamo M ed N i punti medi rispettivamente di AB e AC. Ragionando per assurdo, immaginiamo che il segmento MN non sia parallelo alla base BC (come invece è). Tracciamo allora da M il segmento parallelo a BC, che immaginiamo debbia tagliare il segmento AC nel punto H.

Figura 3 (in allegato)


Per il teorema di Talete possiamo scrivere la seguente proporzione:
[math]AB: AM = AC: AH[/math]

Dal momento che N è punto medio di AC, possiamo scrivere allora che:

[math]AB: AM = AC: AN[/math]

Confrontando questa proporzione con la precedente, ci rendiamo conto che non può che essere: AH = AN, quindi i punti H ed N coincidono.

La seconda parte del teorema può essere dimostrata in molti modi. Qui di seguito se ne propone uno dei tanti possibili.
Prolunghiamo il lato MN di una quantità NM', tale che MN=NM'. Congiungiamo poi il punto M' con il punto C.

Figura 4 (in allegato)


I due triangoli AMN e NM'C sono congruenti in quanto hanno:
1) Il lato MN uguale al lato NM' per costruzione;
2) Il lato AN uguale al lato NC, poichè il punto N è punto medio del lato AC;
3)
[math]A\widehat{N}M= M'\widehat{N}C[/math]
, poichè angoli formati dal segmento orizzontale MM' tagliato dal lato obliquo AC.

I due triangoli sono pertanto congruenti per il primo criterio di congruenza, secondo il quale due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l'angolo tra di loro compreso.

Stando così le cose, il quadrilatero BMM'C è un parallelogramma, in quanto ha i quattro lati a due a due paralleli. Proprietà comune a tutti i parallelogrammi è quella di avere anche i lati a due a due uguali. Possiamo quindi asserire che:

[math]MM'= BC[/math]

Ma poichè

[math]MM' = MN + NM' = 2 \cdot MN[/math]
, se ne conclude che:
[math]BC = 2 \cdot MN[/math]

Il teorema è stato dimostrato.

Altra importante conseguenza del Teorema di Talente è infine la seguente:

"In un triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è congruente con la metà dell'ipotenusa stessa"

Disegniamo dunque il triangolo rettangolo ABC, e sia C il vertice dell'angolo retto.
Tracciamo la mediana relativa all'ipotenusa AB e sia M il punto d'incontro di questa con l'ipotenusa.

Prolunghiamo il lato BC di una quantità CB', tale che BC=CB'. Congiungiamo poi il punto B' con il punto A.

Figura 5 (in allegato)


I due triangoli ABC e CB'A sono congruenti in quanto hanno:
1) Il lato BC uguale al lato CB' per costruzione;
2) Il lato AC in comune;
3)
[math]A\widehat{C}B= A\widehat{C}B'[/math]
, poichè entrambi retti.

Stando così le cose, possiamo dire che:

[math]AB= AB'[/math]

Consideriamo adesso il triangolo ABB'. Il punto M è il punto medio di AB, mentre il punto C è il punto medio del lato BB'. Quindi il segmento CM è quello che unisce i punti medi dei due lati AB e BB'.

Per il precedente teorema, possiamo allora scrivere:

[math]AB'=AB = 2 \cdot CM[/math]

Il teorema è stato dimostrato.

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