L'ultimo teorema del Faraone (ebook)

ISBN 9788896354667 € 4,98

Luigi Boscaino

Fulvio Cusani

Renato Palmieri

L’ultimo teorema del faraone

π φ:

e la mirabile coppia

Copertina di Ginger Lab - www.gingerlab.it

Vignetta in copertina di Fulvio Cusani

Matematicamente.it, 2014

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ISBN 9788896354667

L’ultimo teorema del Faraone

Boscaino, Cusani, Palmieri,

Prefazione

Per una di quelle strane, inattese, ma felici combinazioni, mi ritrovo a scrivere la prefazione di un libro particolare che, per di più, tratta di matematica. Nutro una grande passione per la

dato

materia alimentata dall’esempio da studiosi che pur non avendo una formazione specifica ma spinti da curiosità e amore di conoscenza hanno, con rigore scientifico, dato comunque un contributo conoscitivo nei campi più diversi: Felice Vinci, ingegnere nucleare, in “Omero nel Baltico” risolverebbe tutte le apparenti incongruenze dei poemi omerici ricollocandoli nella loro regione di origine: il mar Baltico, appunto; in curioso contraltare l’amico Renato Palmieri, insegnante liceale di lettere

“La fisica unigravitazionale”

classiche in pensione, con propone un nuovo paradigma che risolverebbe il problema, rincorso da tanti scienziati, della unificazione delle forze in fisica; restando in ambito matematico S. Ramanujan, praticamente un autodidatta, fu agli inizi del secolo scorso accolto in occidente dai più grandi accademici dell’epoca per le sue innate capacità e le sue intuizioni matematiche; il matematico russo A. T. Fomenko, professore all’Università Statale di Mosca, sta dando uno scossone alla cronologia storica ufficiale, risalente al XVI secolo, con i suoi metodi di analisi rigorosamente matematico-statistici. Lungi da me il volermi paragonare in levatura ai “ricercatori di conoscenza” portati ad esempio, resta il dato di fatto che sovente chi non ha una formazione specificamente settoriale possa avere vedute ampie e interdisciplinari e soprattutto

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osi indagare al di là degli ambiti epistemologici dettati dai paradigmi vigenti. L’unico merito che mi riconosco è

di aver fatto incontrare le persone giuste al momento giusto, Renato “il trasgressivo” e Luigi “il matematico”, e di averne mediato i rapporti; colgo l’occasione per ringraziarli di cuore, ho imparato tantissimo da loro ed hanno sopportato stoicamente il fumo delle mie innumerevoli sigarette. Ma veniamo al libro che vi ritrovate fra le mani: esso illustra come una matematica abbastanza elementare basti a svelare la relazione che lega la “mirabile coppia” π (irrazionale trascendente) e φ (il più irrazionale tra gli irrazionali); e come l’aggiunta dell’elemento cinematico, che fu di Archimede, ai principi fondanti la geometria di Euclide (è questo uno dei motivi del nostro motto leggere gli antichi con occhi antichi), porterebbe alla trasformazione in teorema del V postulato e risolverebbe il problema, così noto e secolare da divenire proverbiale, della quadratura del cerchio con squadra e compasso.

Più in particolare il libro inizia con un prologo “romanzato” … ma non troppo, che introduce le circostanze e i motivi della collaborazione tra gli autori, seguito dal capitolo sulla nascita degli irrazionali. L’attenzione si focalizza poi su π (enormemente più complesso rispetto al “trequattordici” di uso comune) e sulla “strana coppia” formata da sezione aurea e numero aureo. Si passa quindi alla esplicitazione matematica dell’ultimo teorema del faraone, che comprende una formula, sorprendentemente semplice, unificante i due “inafferrabili” π e φ ed una rivisitazione della produttoria di Wallis che la velocizza alquanto. Dopo una sintetica e pratica parentesi sulle spirali archimedea e logaritmica, e le loro relazioni con π e rapporto aureo, il testo si conclude con la succitata trattazione sugli enti geometrici fondamentali dove con l’elemento cinematico la geometria sembra ”prendere vita” e perde i caratteri di rigidità e staticità di cui è stata accusata quella euclidea. La trattazione è accompagnata da divagazioni curiosità e spiegazioni degli elementi più ostici per renderne la lettura godibile alla più vasta e varia gamma di lettori. Il tutto condito da calore, creatività e senso dell’umorismo di noi uomini del Sud.

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A parte l’interesse intrinseco degli argomenti trattati, questo scritto intende portare all’attenzione di tutti i lettori e in particolare all’attenzione della comunità scientifica l’estro matematico del giovane novantenne Renato Palmieri; fondamentale in proposito l’apporto dell’amico Luigi Boscaino, primo e sino ad ora unico matematico ad averne preso in dovuta considerazione gli studi, e che oltre alla competenza in materia ha offerto le sue abilità di comunicatore della disciplina (è già autore dei tre volumi eccellere in matematica presso il medesimo editore), calandosi nei panni di un lettore “multilivello” e stemperando lo stile a volte troppo ironicamente irruente, sfottitore diciamo a Napoli, di Renato; Luigi per le sue qualità è il classico insegnante-che-tutti-vorrebbero-avere e concordo con lui nel dire che la matematica non debba essere presentata come una disciplina destinata ad un’utenza elitaria o di nicchia, dimenticando che nasce dalla vitale esigenza di quantificare la realtà.

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La génie est l’art de coordonner les rapports.

(F. V. Eugène Delacroix, artista e pittore francese, 1798-1863).

La genialità è l’arte di coordinare i rapporti, dice Delacroix,

ed esprime una delle caratteristiche del contenuto del presente lavoro: i numeri irrazionali che andiamo a trattare non sono semplici quantità, ma rappresentano dei rapporti, in cui Renato si è giocoforza imbattuto nei suoi studi di fisica (dal greco fù- “natura”) poiché ha scoperto essere rapporti fondanti la geometria della natura. Nella presente opera appare in veste di valente matematico e spero che la scoperta del “matematico” Renato faccia da apripista alla scoperta del Renato “fisico”, che sto studiando da alcuni anni con un senso di meraviglia che non accenna a scemare. Credo che il modello scientifico di Renato abbia il “difetto” di essere troppo semplice. Troppo stridente il confronto tra la matematica sufficiente a detto modello a spiegare i fenomeni fisici, e i complessi modelli matematici vigenti che troppo spesso hanno valenza esclusivamente descrittiva e non esplicativa, e che permettono un progresso solo da un punto di vista tecnologico e meramente empirico, ma nessun progresso realmente conoscitivo. E voglio qui ricordare che il termine scienza deriva dal latino scientia, cioè: conoscenza.

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Prologo

Una pubblicazione scientifica nasce dalla necessità di divulgare, erudire, informare un discreto numero di lettori su tematiche e questioni impegnative e rigorose. Tale presupposto comporta un approccio piuttosto freddo e distaccato, insomma tutt’altro che passionale. Un testo scientifico non confonde la trattazione degli argomenti con le vicende personali, tipiche di un romanzo autobiografico. Tuttavia il lettore, da questo nostro cimento, non si aspetti la stessa impostazione. Già! L’idea di scrivere è nata dalla voglia di trasmettere un’esperienza unica, fatta di persone, combinazioni fortuite e soprattutto di scambio incondizionato di conoscenze.

Gli attori si chiamano Renato Palmieri, Fulvio Cusani e Luigi Boscaino. Il luogo, indubbiamente artefice di grandi ispirazioni, è l’abitazione di Renato Palmieri che sovrasta il paesaggio stupendo del golfo di Napoli. Le ragioni del primo incontro? Ancora oggi sono poco chiare! Certamente hanno contribuito il desiderio di conoscersi, la curiosità di confrontarsi, di ascoltare gli altri e di fare un po’ di sana contaminazione culturale nella settorialità delle competenze di ognuno.

Al primo incontro erano presenti, oltre ai protagonisti di questo racconto, un musicista di nome Amleto ed Enrico, architetto di professione. Tutto si è svolto in un clima sereno e coinvolgente sebbene, in alcuni momenti, la forbita conversazione ha valicato i confini del mistero, mantenendo il suo fascino ma perdendo il suo rigore e la sua razionalità. Originali studi di Fisica e Matematica sono stati al centro del dibattito; tuttavia, la curiosità

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dei presenti unita all’impegno sconfinato che Renato ha profuso nel descrivere i contesti, governati dalla sua equazione, hanno introdotto una straordinaria quantità di fenomeni.

Luigi, in questa prima fase, ha avuto non poche perplessità. Laureato in matematica e soprattutto appassionato della disciplina, egli ha rinunciato alla verifica di attendibilità e spendibilità dell’equazione cosmologica nei fenomeni della natura, limitandosi ad apprezzarne l’eleganza formale sostanziata dal connubio di circonferenze e spirali.

Le eccessive digressioni e la varietà di ambiti toccati avrebbero fatto vacillare i più attenti ed eruditi interlocutori, al che Renato, accortosi dell’esitazione da parte dei presenti, ha sfoderato con aria compiaciuta il suo “asso”, che fino ad allora aveva nascosto nella manica: ha portato all’attenzione degli astanti due fogli stropicciati e segnati dal tempo, li ha disposti con meticolosa cura sul tavolo e ha invitato tutti a leggere con attenzione.

Solo successivamente, Renato metterà a disposizione di Luigi e Fulvio i due fogli, che oggi sono riprodotti nelle pagine di questo lavoro. Il primo impatto con i documenti ha avuto un fascino effimero e ha lasciato subito spazio alla perplessità. Titolo del rebus: “L’ultimo teorema del Faraone”.

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Il riferimento è a Chefren che, come ha sottolineato più volte Renato durante la discussione, vuol dire “nato re” (il dio Sole degli Egizi) o, se preferite, Renato.

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Il rebus contiene riferimenti storici e riferimenti biblici che fanno da collante all’enucleazione di quattro punti criptati in cui compaiono due famosi irrazionali: phi e pi greco. Il contenuto matematico del misterioso manoscritto era scaturito dagli studi che Renato ha condotto per la fisica unigravitazionale.

Luigi, ritenendo necessarie altre competenze per verificare la pervasiva presenza dell’equazione negli equilibri dell’universo, ha concentrato il proprio interesse sull’ultimo teorema del faraone. In esso, dopo una scrematura da misteriosi e inquietanti orpelli egizi, è emersa la relazione tra i due notissimi irrazionali. Renato aveva deciso di ammantare di mistero le sue scoperte matematiche e di non rivelarle perché si sentiva tradito dal mondo accademico-scientifico: da più di quaranta anni aveva fatto un enorme lavoro nel campo della fisica, e quel mondo, tranne singoli casi isolati, non aveva mai dato ai suoi studi riscontro alcuno (anche se negativo, purché motivato). Proprio in quel periodo, per una felice combinazione, Luigi aveva iniziato a prendere appunti per una pubblicazione scientifica riguardante i numeri irrazionali. Ma un bel giorno qualcosa succede: sulla base dell’amicizia e della stima reciproca fra i tre, per il comune amore di conoscenza, e per la strana coincidenza di interesse verso i numeri irrazionali, Renato cambia idea e decide di svelare la soluzione del rebus matematico; in maniera naturalmente conseguenziale, si profila il progetto di accomunare le conoscenze e le competenze di ciascuno in una pubblicazione scientifica che, dati i soggetti e i presupposti, avesse forti caratteri di novità e originalità. Qui entra in gioco il più diligente fra i protagonisti di questa storia: Fulvio. Comune amico di Renato

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e Luigi ha rappresentato il vero collante del trio, ha profuso entusiasmo e stimoli nella giusta misura, ha mitigato le piccole dispute nate dalle diverse scelte di stile da operare nel testo e, infine, ha potenziato il messaggio trasmesso dal testo grazie all’originale valore iconico dato a tutte le sue rappresentazioni grafiche. I disegni realizzati da Fulvio costituiscono una peculiarità del libro che ne esalta i contenuti.

Giunti a questo punto della nostra storia ci sembra opportuno passare all’esplicitazione delle belle relazioni che sono nate dal confronto fra i tre protagonisti, sperando che dalla lettura emerga lo stesso stupore e lo stesso piacere che hanno accompagnato gli autori nella produzione del presente cimento.

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Capitolo I: la nascita degli irrazionali

La geometria, nel corso dei secoli, ha veicolato intuizioni, prodotto brillanti risultati e lasciato dubbi e incertezze. Come la matematica ha fornito strumenti preziosi, utili allo sviluppo delle altre scienze, così, si può asserire senza ombra di dubbio, che la geometria (nelle sue molteplici forme) è stata il volano per lo sviluppo delle altre branche della matematica.

Con il chiaro intento di stuzzicare i vostri appetiti scientifici vi sottoponiamo un’interessante questione. Dato un quadrato di lato unitario, sappiamo bene che la sua area misura uno (figura a). Disegnando un secondo quadrato di identiche dimensioni, adiacente al primo, si ottiene un rettangolo di base due e altezza uno (figura b).

L’area del rettangolo dunque misura due. Certo, quanto asserito fino ad ora è banale e forse noioso; ma siate pazienti. Costruiamo, partendo dal rettangolo, un quadrato a esso equivalente. Un approccio semplice ed intuitivo consiste nel tracciare le diagonali dei quadrati e ridisporre, mediante semplici traslazioni, i quattro triangoli rettangoli isosceli così ottenuti (figura c).

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Naturalmente il quadrato, essendo equivalente al rettangolo ha l’area che misura due (figura d). Esattamente come il rettangolo con base due e altezza uno. Tutto semplice! Siete d’accordo? Problema: quanto misura il lato del quadrato di area due? Se vi sembra ancora semplice vi assicuriamo che nei secoli passati non lo è stato affatto.

Fino a questo momento non si è fatto alcun cenno, volutamente, alla misura dei lati, cioè non abbiamo detto se il quadrato originario, presente nella figura a, misura un millimetro, un centimetro, un metro oppure un chilometro. Immaginiamo di esprimere le misure in metri.

Se, procedendo empiricamente, prendessimo una rotella metrica e misurassimo il lato del quadrato, scopriremmo che la sua misura è pari a un metro e quarantuno centimetri (1,41 m). Tale valore, che esprime la misura del lato del quadrato, non rende giustizia alla sua area.

Infatti

Dunque non è così semplice determinare la misura del lato, soprattutto procedendo per approssimazioni successive. Da ciò scaturisce l’impossibilità di misurare praticamente il lato di un quadrato di area due.

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Il problema che vi abbiamo proposto è riconducibile a quello trattato, tra gli altri, dal grande Pitagora: il calcolo della diagonale del quadrato e più in generale dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo. Anche se ormai è chiaro che il teorema legato al nome di Pitagora non è attribuibile al grande filosofo greco, in quanto era conosciuto, non come “teorema generale” ma in forma di “regola generale”, almeno 1000 anni prima di Lui. Le civiltà mesopotamiche lo applicavano per la soluzione di un diffusissimo problema, noto come il “problema dello scivolamento del palo o della canna”.

Tale problema consiste nel valutare, in base allo scivolamento della canna lungo il muro, la distanza dell’estremità inferiore della canna da una parete d’appoggio. Per apprezzare fino in fondo il contenuto di tale questione proponiamo di seguito il problema, fedelmente tradotto dall’originale.

POSIZIONE 1 POSIZIONE 2

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Un palo (o una canna) lungo 30, posto verticalmente contro un muro, è disceso di 6 verso il basso. Di quanto si è allontanato (rispetto) alla base del muro?

In questo problema rileviamo un dato esplicito e uno implicito. La misura esplicita è rappresentata dalla lunghezza della canna (30 unità); la misura implicita si riferisce alla parete verticale e