Come calcolare la misura della lunghezza di un segmento sul piano cartesiano

In quest'appunto troverai tutte le informazioni necessarie per calcolare la lunghezza di un segmento all'interno del piano cartesiano, conoscendo le coordinate delle estremità dei punti. E' presente un esempio dedicato al calcolo della diagonale di un rettangolo.

Cos'è un segmento e quali sono le sue caratteristiche

Il segmento è uno degli enti fondamentali della geometria.

Secondo la sua definizione, esso è una parte di retta - ossia un'infinita successione di punti lungo la stessa direzione - delimitata da due suoi punti ben distinti definiti estremi.

Due o più segmenti possono essere classificati a seconda della posizione che essi hanno l'uno rispetto all'altro. In particolare è possibile riconoscere:

• i segmenti congruenti, ossia quando i due segmenti coincidono se sovrapposti. In altre parole, ciò significa dire che i due segmenti hanno la stessa lunghezza
• i segmenti coincidenti, cioè segmenti che condividono ambi due gli estremi
• i segmenti sovrapposti, ossia quando i segmenti condividono un solo estremo e il più corto giace completamente sul segmento più lungo

Come calcolare la lunghezza di un segmento sul piano cartesiano

Un segmento può essere inserito all'interno di un piano cartesiano se si conoscono le coordinate dei suoi estremi. In relazione a come sono posizionati questi ultimi punti, tuttavia, è necessario utilizzare una strategia differente per il calcolo della lunghezza.

Calcolare la lunghezza di un segmento parallelo a uno dei due assi

Un segmento può essere posizionato nel piano cartesiano parallelamente all'asse x o all'asse y: normalmente se ciò accade, è molto facile calcolare la lunghezza del segmento.

Supponiamo che il segmento sia parallelo all'asse delle ascisse. In questo caso gli estremi del segmento avranno lo stesso valore di ordinata e un valore diverso di ascissa. Per calcolare la lunghezza del segmento in questo caso basta fare la differenza tra il valore di ascissa finale e quello iniziale. La formula è

dove

e

sono le coordinate degli estremi del segmento. Il risultato è la lunghezza del segmento.

Se il segmento è, invece, parallelo all'asse delle coordinate, la lunghezza del segmento è pari alla differenza tra le ordinate, in quanto gli estremi del segmento sono caratterizzati dalla stessa ascissa. In questo caso, la formula è:

Calcolare la lunghezza di un segmento obliquo

Più in generale, un segmento può anche essere posizionato in maniera obliqua rispetto agli assi, cioè non perfettamente parallelo o perpendicolare. In questo caso, l'approccio diventa un po' più complicato. Per valutare la lunghezza bisogna:

• Proiettare gli estremi del segmento sugli assi cartesiani. Le linee di proiezione, intersecandosi, formano un triangolo rettangolo
• Osservando il triangolo rettangolo formato puoi notare che l'ipotenusa corrisponde proprio al segmento obliquo di cui si vuole misurare la grandezza. La lunghezza dei cateti paralleli agli assi, invece, può essere calcolata sfruttando le nozioni precedentemente introdotte
• Una volta calcolata la lunghezza dei cateti, è possibile ricavare la lunghezza dell'ipotenusa (e quindi del segmento obliquo) grazie al Teorema di Pitagora. In particolare:
  [math]\sqrt {(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}[/math]

Sapendo queste nozioni fondamentali, si possono affrontare facilmente tutti i casi correlati. Può capitare, infatti, che i punti allineati possano formare una figura geometrica: in quel caso stiamo parlando di geometria su un piano cartesiano.
Quando abbiamo a che fare con questo tipo di caso, è possibile "scomporre" la figura in geometrie semplici e sfruttare le formule introdotte. Una volta ricavate le misure dei lati è proprio grazie a questo tipo di approccio che è possibile risolvere i problemi e gli esercizi.

Esempio: calcolo della lunghezza della diagonale di un rettangolo sul piano cartesiano

Il rettangolo

ha gli estremi nei seguenti punti:

. Calcola la lunghezza della diagonale del rettangolo. Nota bene: nella trattazione non sono espresse unità di misura. Esse dipendono dalla grandezza della misura unitaria scelta per la definizione del piano cartesiano.

Svolgimento del problema

La prima cosa da fare è rappresentare sul piano cartesiano i punti forniti dalla traccia. Il rettangolo avrà basi

e

, mentre le altezze sono

e

. Tracciamo la diagonale

: così facendo, possiamo suddividere il rettangolo in due triangoli rettangoli.

Consideriamo il triangolo rettangolo

. Per conoscere la misura dell'ipotenusa del triangolo (e quindi la diagonale del rettangolo) è necessario conoscere la misura dei cateti (cioè la base e l'altezza del rettangolo). La base

è un segmento parallelo all'asse delle x, mentre l'altezza

è un segmento parallelo all'asse delle y. Sfruttando le formule precedentemente introdotte possiamo dire che la lunghezza di

è pari alla differenza delle ascisse dei suoi estremi, mentre la lunghezza di

è pari alla differenza delle ordinate dei suoi estremi. In termini matematici, quindi:

.

Noti i cateti possiamo applicare il teorema di Pitagora per calcolare la diagonale:

Per ulteriori approfondimenti sul segmento vedi anche qua