Problema di minimo: area rettangolo

Dato un rettangolo, con la base e l’altezza di misura rispettivamente b ed h, individuare il triangolo rettangolo circoscritto ad esso (con il vertice dell’angolo retto coincidente con un vertice del rettangolo) di area minima; trovare poi la relazione fra b ed h in modo che tale triangolo sia la metà di uno equilatero.

I segmenti AB e CD misurano b, i segmenti AD e BC misurano h; indichiamo con x la misura di BE (deve essere

). Dalla similitudine dei triangoli BCE e CDF risulta che DF : BC = CD : BE, da cui, passando alle misure, si ha: , da cui .

I segmenti AE ed AF misurano quindi rispettivamente

e l’area del triangolo AEF (che è quella da minimizzare) risulta

da cui

(1)

La derivata di tale funzione è

che esiste per ogni , si annulla per (interessa solo ) , è negativa se , è positiva se ; la funzione y ha quindi, nell'intervallo minimo relativo ed assoluto in (x = b).

Il triangolo di area minima cercato ha quindi i cateti AE ed AF di misura rispettivamente 2b e 2h.

Per minimizzare la funzione y si poteva anche evitare di ricorrere al calcolo differenziale utilizzando il “metodo delle proprietà note”. Osservando y nella (1) si nota che, essendo il terzo addendo costante, ci si può limitare a minimizzare la somma dei primi due addendi; questi sono positivi con prodotto costante (guale a

) pertanto, in base ad una delle “proprietà note”, la loro somma è minima quando essi sono uguali, il che accade se x = b.

Affinché un triangolo rettangolo sia la metà di uno equilatero, occorre e basta che uno dei suoi angoli acuti abbia ampiezza 60°; nel triangolo in questione si deve quindi imporre che tale ampiezza sia quella dell’angolo in E o dell’angolo in F.

Deve quindi risultare:

oppure

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1. Cfr. ad esempio M. Dedò, Matematiche elementari , vol. I, parte III, cap. I, Liguori Editore (1962)