Problema svolto sulla retta: determinazione equazione e area di un triangolo.

In questo appunto andremo a risolvere un esercizio di Geometria Analitica. Come vedremo nel paragrafo successivo dalla traccia, ci verrà richiesto di determinare l'equazione di una retta, oltre ad un punto appartenente ad essa che soddisfa determinate proprietà. Verranno inoltre successivamente definite due ulteriori rette; la cui intersezione definirà ulteriormente un altro punto. Infine ci verrà richiesto di calcolare l'area del triangolo che ha per vertici alcuni dei punti determinati.

Testo dell'esercizio

Considera la retta passante per

e

. Determina su tale retta un punto

la cui ascissa è tripla dell'ordinata. Considera la retta parallela all'asse

passante per

e la retta parallela all'asse

passante per

. Determina il punto

di intersezione di queste due rette e calcola l'area del triangolo

.

Determinazione dell'equazione della retta AB

Sappiamo che l'equazione della retta in forma esplicita è

Andando a sostituire le coordinate dei punti fornite dal problema, otterremo quindi:

Moltiplicando a farfalla il numeratore di una frazione per il denominatore dell'altra, si otterrà:

Dividendo ora per

otterremo l'equazione della retta in forma esplicita:

Per approfondimenti sulla determinazione del'equazione di una retta, vedi anche qua

Determinazione di ascissa e ordinata del punto C

Il problema ci chiede di determinare le coordinate di un certo punto

avente ascissa pari al triplo dell'ordinata.
Il punto

sarà quindi della forma

dove

che determineremo. L'equazione della nostra retta di partenza era

. Sappiamo che sostituendo l'ascissa alla variabile

otterremo

. Quindi, in definitiva, avremo da risolvere l'equazione:

Il nostro punto

avrà quindi coordinate

.

Determinazione della retta passante per A parallela all'asse x

Anche nota come asse delle ascisse, l'asse

ha equazione

. In generale, invece, ogni retta parallela all'asse

avrà equazione del tipo

dove

è un qualsiasi parametro reale.
Il problema ci chiede di determinare una retta siffatta che passi per il punto

. Essendo l'ordinata di

pari a

, tutti i punti aventi ordinata pari a

Determinazione della retta passante per B parallela all'asse y

Anche nota come asse delle ordinate, l'asse

ha equazione

. Con ragionamento analogo al paragrafo precedente, notiamo che

quindi tutti i punti aventi ascissa pari a

fanno parte della retta di nostro interesse, che avrà quindi equazione

.

Calcolo delle coordinate del punto D

Il punto

è definito come l'intersezione tra le due rette determinate nei punti precedenti. L'intersezione tra la retta

e la retta

sarà un punto che avrà ascissa

e ordinata

; quindi necessariamente

.

Calcolo dell'area del triangolo DAC

Quest'ultima richiesta è un po' particolare. Infatti, per determinare l'area di un triangolo è necessario calcolare il determinante di una matrice 3x3. Gli elementi della matrice sono le coordinate dei tre punti, così sistemati:

Il valore del determinante di questa matrice andrà poi calcolato in valore assoluto (non esistono aree negative!) e poi diviso per 2.
Si dovrebbe quindi calcolare il determinante della matrice:

Tuttavia in questo paragrafo proporremo un metodo più facile: proviamo a immaginare che cosa succederebbe se rappresentassimo tale triangolo su un piano cartesiano. Siccome i primi due punti hanno la stessa ordinata, il triangolo in questione avrà base pari a

e altezza pari a

.
Ricordando che l'area di un triangolo è data dal semiprodotto tra base e altezza, calcoliamo quindi:

Per approfondimenti sul calcolo dell'area di un triangolo nel piano cartesiano, vedi anche qua