Numeri reali, retta reale, intervalli, intorni e luogo geometrico

La retta reale, intervalli, intorni e luogo geometrico

In questo breve appunto parleremo prima della retta reale, successivamente ci sposteremo alla definizione di intervallo, dopodiché introdurremo gli intorni e infine concluderemo con i luoghi geometrici.

Cosa sono i numeri reali?

L'insieme dei numeri reali (R) è formato da tutti quei numeri sia razionali che irrazionali R = n, c1, c2, c3,.... dove n è un numero relativo mentre c1, c2,... sono o successioni decimali o periodiche.

Parliamo di retta reale

Ora che abbiamo definito i numeri reali possiamo parlare di retta reale.
La retta reale è usata per rappresentare i numeri reali, questo oggetto ci da la possibilità di avere una corrispondenza 1 a 1 con i nostri elementi numerici.
Inoltre essendo composta da numeri razionali e irrazionali non presenta alcun buco al suo interno.
Una differenza sostanziale con la retta razionale è che a differenza di quest’ultima è continua e ogni suo spazio corrisponde a un n,c1, c2, c3,.... ∈ R.
La retta razionale inoltre è definita come densa, cioè tra un numero razionale un altro è sempre possibile trovarne uno, ma come detto precedentemente non presenta numeri irrazionali.

Cos’è un intervallo?

Ora spostiamoci alla definizione di intervallo.
Un intervallo è : IR se x, y ∈ R con x Ciò significa che è sempre possibile trovare un numero in mezzo tra un numero x e un numero y quando la retta è reale.
Quando invece la retta è razionale, ovviamente ciò non è possibile in quanto la retta razionale contiene solo i numeri razionali e non quelli irrazionali, perciò presenta dei buchi.

Quante tipologie di intervalli esistono?

Gli intervalli si dividono in:
aperti limitati (a,b)
chiusi limitati [a,b]
limitati superiormente (a,b]
limitati inferiormente [a,b)
semirette di destra (a, +∞) [a,+∞)
semirette di sinistra (-∞,a) (-∞,a]
retta reale (-∞,+∞)

I punti a e b sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi quadra
[] indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi tonda () indica che non vi appartiene. Una notazione alternativa usa ][ rispettivamente al posto di ()

Che cos’è un intorno?

Un intorno viene definito dal suo centro x₀ ∈ R e dal suo raggio r > 0 Bᵣ (x₀-r, x₀+r).
In breve tutti quei punti che distano dal centro meno del raggio.
L’utilità degli intorni si vedrà con la definizione di punto di accumulazione, dove il raggio del nostro intorno dovrà essere o molto piccolo o estremamente grande.

Che cos'è un luogo geometrico?

Un luogo geometrico di punti è l'insieme di tutti e soli quei punti che posseggono una caratteristica, una proprietà che è tipica proprio di quello specifico luogo geometrico.

Che caratteristiche possiede un luogo geometrico?

Le caratteristiche sono le seguenti:

1) Tutti i punti del luogo geometrico verificano una certa proprietà
2) I punti del luogo sono i soli ad avere quella proprietà, ossia ogni punto che verifica la proprietà appartiene al luogo geometrico