Triangoli rettangoli: proprietà ed esempio di problema svolto

In quest'appunto troverai un approfondimento sulle proprietà dei triangoli rettangoli e un esempio di calcolo numerico inerente.

La geometria piana e i triangoli: principali proprietà e formule

La geometria è la parte della matematica che studia le figure attraverso l'utilizzo del piano cartesiano, ossia un sistema definito da due assi ortogonali in un centro all'interno del quale ogni punto è rintracciabile mediante le coordinate.

Tali coordinate sono dei valori numerici che corrispondono alla distanza del punto dall'asse

e dall'asse

.

Esistono più tipi di figure: la principale distinzione può essere fatta tra figure piane e figure solide. Le figure solide sono delle figure che si sviluppano in tre dimensioni e che presentano, quindi, altezza, larghezza e profondità. Esse possono essere caratterizzate da diverse grandezze: la superficie totale, la superficie laterale e il volume. Quest'ultimo rappresenta la parte di spazio racchiusa all'interno della superficie totale.
Gli elementi caratteristici di una figura solida sono le facce (ossia i poligoni che la compongono), gli spigoli (cioè i lati delle facce) e i vertici (ossia i punti in comune tra tre facce).

La geometria piana, tuttavia, si occupa esclusivamente delle figure piane, cioè delle figure che presentano soltanto altezza e larghezza. Esse possono essere divise in categorie a seconda del numero di lati e angoli di cui dispongono. Le grandezze calcolabili in questo caso sono due (perimetro e area) mentre gli elementi che caratterizzano una figura piana sono tre.

Il perimetro rappresenta la misura della lunghezza del contorno della figura e il suo valore è espresso in unità di lunghezza, mentre l'area rappresenta l'estensione della superficie, esprimibile mediante le lunghezze al quadrato. Gli elementi che invece caratterizzano una figura piana sono rispettivamente i lati (cioè i segmenti che costituiscono il bordo della figura), gli angoli e i vertici (cioè i punti di incontro tra segmenti).

I triangoli rettangoli: le proprietà di cateti e ipotenusa

I triangoli sono una sottocategoria speciale di figure piane che dispongono di tre lati e tre angoli. Le proprietà di tali elementi possono essere utilizzati come discriminante per la classificazione delle figure. Per quanto riguarda i lati, i triangoli possono suddividersi in:

• triangoli equilateri, se presentano tre lati congruenti
• triangoli isosceli, se sono presenti solo due lati congruenti
• triangoli scaleni, aventi tutti i lati disuguali

mentre per quanto riguarda gli angoli abbiamo le seguenti categorie

• i triangoli acutangoli, aventi solo angoli acuti
• i triangoli ottusangoli, i quali dispongono di almeno un angolo ottuso
• i triangoli rettangoli, che presentano un angolo retto

I triangoli rettangoli sono dei triangoli particolari poiché godono di alcune proprietà specifiche. Prima di tutto, i lati di un triangolo rettangolo si dividono in cateti e ipotenusa. L'ipotenusa è il lato più lungo del triangolo ed è posizionato di fronte all'angolo retto.
Nei triangoli rettangoli valgono una serie di teoremi che permettono di calcolare in modo più agevole la misura dei lati.
Il principale è il Teorema di Pitagora: esso permette di quantificare la lunghezza di un cateto o dell'ipotenusa avendo nota la lunghezza degli altri due lati.

Anche i teoremi di Euclide sono importanti. Il primo sancisce la proporzionalità tra l'ipotenusa e i cateti, mentre il secondo stabilisce la proporzionalità tra i cateti e la proiezione dei cateti sull'ipotenusa.

Esistono, inoltre, dei triangoli rettangoli particolari in cui è possibile stabilire a priori la lunghezza dei cateti e dell'ipotenusa. Se, infatti, un triangolo rettangolo presenta due angoli di

, esso è isoscele: in questo caso, l'ipotenusa può essere calcolata come

mentre il cateto come

.
Se, invece, un triangolo rettangolo presenta un angolo di

e un angolo di

, il cateto maggiore può essere calcolato come il prodotto tra il cateto minore e

oppure come il prodotto tra l'ipotenusa e

. L'ipotenusa, infine, può essere calcolata come il doppio del cateto minore o il prodotto tra il cateto maggiore e

.

Esercizio svolto e commentato sui triangoli rettangoli

L'ipotenusa

di un triangolo rettangolo

è di

e il cateto

di

. Dal punto

del cateto

tale che

sia il doppio di

, si conduce la parallela all'ipotenusa, che incontra in

il cateto

, e la parallela al cateto

che incontra in

l'ipotenusa. Determinare la lunghezza dei segmenti

Svolgimento commentato

I dati forniti dalla traccia sono

,

,

.
Il triangolo in esame è un triangolo rettangolo in

(vedi foto). Per questo motivo, è possibile applicare il teorema di Pitagora, secondo cui

.

Osservando i triangoli

e

è possibile notare che essi sono simili. In particolare, ciò è vero perché i tre angoli sono congruenti e i lati di un triangolo sono proporzionali a quelli dell'altro triangolo.
A questo punto possiamo quindi calcolare la lunghezza del segmento

. Considerando che

,

,

e quindi

e

.

Da ciò discende che i lati del triangolo

sono

dei lati del triangolo

e che quindi i lati misurano

.
Quindi, il triangolo

ha i lati rispettivamente pari ai

dei lati del triangolo

quindi

.

Per ulteriori approfondimenti sul triangolo rettangolo vedi anche qui