Coniche degeneri

Coniche degeneri

Esempi di coniche degeneri
se r `e una retta di E^2 avente equazione omogenea ax1 + bx2 + cx0 = 0, allora (ax1 + bx2 + cx0)2 = 0 `e la equazione di una conica degenere di E^2 , il cui supporto `e costituito da tutti e soli i punti della retta r (che si dice “contata due volte”); se r e s sono due rette distinte di E^2 aventi rispettivamente equazioni:
omogenee ax1 + bx2 + cx0 = 0 e ¯ax1 + bx¯2 + ¯cx0 = 0, allora(ax1 + bx2 + cx0)· (¯ax1 + bx¯2 + ¯cx0) = 0 `e la equazione di una conica degenere di E^2, il cui supporto `e costituito da tutti e soli i punti delle rette r e s.
Classificazione delle coniche degeneri di E^2
Se C `e una conica degenere di E^2 , allora
se ρ(C) = 1, il supporto di C `e costituito da una retta (propria o impropria)
se ρ(C) = 2, il supporto di C `e costituito da due rette distinte o da un solo punto (proprio o improprio)
Definizione
Una conica si dice reale, se I(C) 6= ∅, si dice vuota (o immaginaria), se I(C) = ∅.
Osservazione: Una conica degenere `e sempre reale.
Caratterizzazione coniche immaginarie
Una conica C `e immaginaria se e solo se, data la forma quadratica q che la rappresenta, si ha che q `e definita.
Intersezione di una retta con una conica
Se C `e una conica e r `e una retta (propria o impropria) di E^2 non contenuta nel supporto di C, allora l’intersezione di r con C `e costituita da:
- due punti distinti (r `e secante C)
- un solo punto (r `e tangente a C)
- l’insieme vuoto (r `e esterna a C)
Inoltre, se C `e non degenere,il supporto di C non contiene rette.